Гипотеза Куммера – Вандивера - Kummer–Vandiver conjecture

Гипотеза Куммера – Вандивера

Поле	Алгебраическая теория чисел
Предполагается	Эрнст Куммер
Предполагается в	1849
Открытая проблема	да

В математика, то Гипотеза Куммера – Вандивера, или же Гипотеза Вандивера, утверждает, что простое число п не разделяет номер класса час_K максимального реального подполе ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ( zeta _ {p}) ^ {+}}$ из п-й круговое поле. Гипотеза была впервые сделана Эрнст Куммер 28 декабря 1849 г. и 24 апреля 1853 г. в письмах к Леопольд Кронекер, перепечатано в (Куммер 1975, стр. 84, 93, 123–124) и независимо заново открыты около 1920 г. Филипп Фуртвенглер и Гарри Вандивер  (1946, п. 576),

По состоянию на 2011 год нет особенно веских доказательств ни за, ни против этой гипотезы, и неясно, правда она или ложь, хотя вполне вероятно, что контрпримеры очень редки.

Фон

Номер класса час кругового поля ${ Displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {p})}$ это произведение двух целых чисел час₁ и час₂, называемые первым и вторым множителями номера класса, где час₂ это номер класса максимального действительного подполе ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ( zeta _ {p}) ^ {+}}$ из п-го круговое поле. Первый фактор час₁ хорошо понят и может быть легко вычислен в терминах Числа Бернулли, и обычно довольно большой. Второй фактор час₂ не очень хорошо изучен и его трудно вычислить явно, а в тех случаях, когда он был вычислен, он обычно невелик.

Куммер показал, что если простое п не делит номер класса час, тогда Последняя теорема Ферма справедливо для экспоненты п.

Гипотеза Куммера – Вандивера утверждает, что п не делит второй фактор час₂Куммер показал, что если п делит второй фактор, затем делит и первый фактор. В частности, гипотеза Куммера – Вандивера верна для обычные простые числа (те, для которых п не делит первый фактор).

Доказательства за и против гипотезы Куммера – Вандивера

Куммер проверил гипотезу Куммера – Вандивера для п менее 200, и Вандивер расширил это до п менее 600. Джо Бюлер, Ричард Крэндалл, и Рейо Эрнвалл и др. (2001 ) проверил это для п <12 миллионов. Харви (2008) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHarvey2008 (помощь) расширил это число до простых чисел меньше 163 миллионов.

Вашингтон (1996 г., п. 158) описывает неформальный аргумент вероятности, основанный на довольно сомнительных предположениях об эквираспределении чисел классов mod п, предполагая, что количество простых чисел меньше, чем Икс которые являются исключением из гипотезы Куммера – Вандивера, могут расти как (1/2) log logИкс. Это число растет чрезвычайно медленно и предполагает, что компьютерные вычисления не предоставляют достаточных доказательств гипотезы Вандивера: например, аргумент вероятности (в сочетании с вычислениями для малых простых чисел) предполагает, что следует ожидать только около 1 контрпримера из первых 10¹⁰⁰ простые числа, предполагая, что маловероятно, что какой-либо контрпример будет найден дальнейшим перебором, даже если существует бесконечное количество исключений.

Скуф (2003) дал предположительные вычисления номеров классов реальных круговых полей для простых чисел до 10000, что убедительно свидетельствует о том, что номера классов не имеют случайного распределения по модулю п. Они, как правило, довольно маленькие и часто всего 1. Например, если предположить, что обобщенная гипотеза Римана, номер класса действительного кругового поля для простого п равно 1 для п<163 и делится на 4 при п= 163. Это говорит о том, что неформальный аргумент Вашингтона против этой гипотезы может вводить в заблуждение.

Михэилеску (2010) дал уточненную версию эвристического аргумента Вашингтона, предполагая, что гипотеза Куммера – Вандивера, вероятно, верна.

Следствия гипотезы Куммера – Вандивера

Курихара (1992) показал, что эта гипотеза эквивалентна утверждению в алгебраическая K-теория целых чисел, а именно, что K_п(Z) = 0 всякий раз, когда п делится на 4. Фактически из гипотезы Куммера – Вандивера и теорема об изоморфизме вычетов по норме следуйте полному предположительному расчету K-группы для всех значений п; видеть Гипотеза Квиллена – Лихтенбаума для подробностей.

Смотрите также

• Обычные и неправильные простые числа

Рекомендации

• Бюлер, Джо; Крэндалл, Ричард; Эрнвалль, Рейо; Метсянкюля, Тауно; Шокроллахи, М. Амин (2001), Босма, Виб (ред.), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов», Вычислительная алгебра и теория чисел (Труды 2-й Международной конференции по магме, проведенной в Университете Маркетта, Милуоки, Висконсин, 12–16 мая 1996 г.), Журнал символических вычислений, 31 (1): 89–96, Дои:10.1006 / jsco.1999.1011, ISSN  0747-7171, МИСТЕР  1806208
• Гейт, Экнат (2000), "Гипотеза Вандивера через K-теорию" (PDF), в Adhikari, S.D .; Katre, S.A .; Такур, Динеш (ред.), Циклотомические поля и связанные темы, Материалы Летней школы по циклотомическим полям, проходившей в Пуне, 7–30 июня 1999 г., Бхаскарачарья Пратиштана, Пуна, стр. 285–298, МИСТЕР  1802389
• Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Вайль, Андре (ред.), Сборник статей. Том 1: Вклад в теорию чисел, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-06835-0, МИСТЕР  0465760
• Курихара, Масато (1992), «Несколько замечаний по поводу гипотез о круговых полях и K-группах Z», Compositio Mathematica, 81 (2): 223–236, ISSN  0010-437X, МИСТЕР  1145807
• Михэилеску, Преда (2010), Превращение эвристики Вашингтона в пользу гипотезы Вандивера, arXiv:1011.6283, Bibcode:2010arXiv1011.6283M
• Schoof, Рене (2003), "Числа классов реальных круговых полей первичного проводника", Математика вычислений, 72 (242): 913–937, Дои:10.1090 / S0025-5718-02-01432-1, ISSN  0025-5718, МИСТЕР  1954975
• Вандивер, Х.С. (1946), "Последняя теорема Ферма. Ее история и характер известных результатов, касающихся ее", Американский математический ежемесячник, 53 (10): 555–578, Дои:10.1080/00029890.1946.11991754, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305236, МИСТЕР  0018660
• Вашингтон, Лоуренс К. (1996), Введение в циклотомические поля, Спрингер, ISBN  978-0-387-94762-4

внешняя ссылка

• Харви, Дэвид (2011), Нерегулярные простые числа до 163 миллионов, 80