Теорема Лёбса - Википедия - Löbs theorem

В математическая логика, Теорема Лёба заявляет, что в Арифметика Пеано (PA) (или любая формальная система, включая PA) для любой формулы п, если в ПА можно доказать, что "если п доказуемо в PA, то п верно ", тогда п доказуемо в PA. Более формально, если Prov (п) означает, что формула п доказуемо, то

{ displaystyle mathrm {if} PA vdash ({ rm {Prov}} (P) rightarrow P) mathrm {, затем} PA vdash P,}

или же

{ displaystyle { dfrac {PA vdash { rm {Prov}} (P) rightarrow P} {PA vdash P}}.}

Непосредственное следствие ( контрапозитивный ) теоремы Лёба состоит в том, что если п не доказуемо в PA, то "если п доказуемо в PA, то п истинно "не доказуемо в PA. Например," Если ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ доказуемо в PA, то ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ "не доказуемо в ПА.^{[примечание 1]}

Теорема Лёба названа в честь Мартин Хьюго Лёб, сформулировавший его в 1955 году.

Теорема Лёба в логике доказуемости

Логика доказуемости абстракции от деталей кодировок, используемых в Теоремы Гёделя о неполноте выражая доказуемость ${ displaystyle phi}$ в данной системе на языке модальная логика, посредством модальности ${ Displaystyle Box phi}$ .

Тогда мы можем формализовать теорему Лёба с помощью аксиомы

{ Displaystyle Box ( Box P rightarrow P) rightarrow Box P,}

известная как аксиома GL по Гёделю – Лёбу. Иногда это формализуется с помощью правила вывода, которое

{ displaystyle P}

из

{ displaystyle Box P rightarrow P.}

Логика доказуемости GL, возникающая в результате взятия модальная логика K4 (или же K, поскольку схема аксиом 4, ${ Displaystyle Box A rightarrow Box Box A}$ , затем становится избыточным) и добавление указанной выше аксиомы GL является наиболее интенсивно исследуемой системой в логике доказуемости.

Модальное доказательство теоремы Лёба

Теорема Лёба может быть доказана в рамках модальной логики, используя только некоторые основные правила об операторе доказуемости (система K4) плюс существование модальных неподвижных точек.

Модальные формулы

Мы будем предполагать следующую грамматику формул:

Если ${ displaystyle X}$ это пропозициональная переменная, тогда ${ displaystyle X}$ это формула.
Если ${ displaystyle K}$ пропозициональная константа, то ${ displaystyle K}$ это формула.
Если ${ displaystyle A}$ формула, то ${ displaystyle Box A}$ это формула.
Если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ формулы, то и ${ displaystyle neg A}$ , ${ displaystyle A rightarrow B}$ , ${ Displaystyle A клин B}$ , ${ displaystyle A vee B}$ , и ${ displaystyle A leftrightarrow B}$

Модальное предложение - это модальная формула, не содержащая пропозициональных переменных. Мы используем ${ displaystyle vdash A}$ значить ${ displaystyle A}$ это теорема.

Модальные фиксированные точки

Если ${ Displaystyle F (X)}$ является модальной формулой только с одной пропозициональной переменной ${ displaystyle X}$ , то модальная неподвижная точка ${ Displaystyle F (X)}$ это приговор ${ displaystyle Psi}$ такой, что

{ Displaystyle vdash Psi leftrightarrow F ( Box Psi)}

Мы будем предполагать существование таких неподвижных точек для каждой модальной формулы с одной свободной переменной. Это, конечно, не очевидно, но если мы интерпретируем ${ displaystyle Box}$ как доказуемость в арифметике Пеано, то существование модальных неподвижных точек следует из диагональная лемма.

Модальные правила вывода

Помимо существования модальных неподвижных точек, мы предполагаем следующие правила вывода для оператора доказуемости ${ displaystyle Box}$ , известный как Условия доказуемости Гильберта – Бернейса.:

(необходимость) Из ${ displaystyle vdash A}$ заключить ${ displaystyle vdash Box A}$ : Неформально это говорит, что если A - теорема, то она доказуема.
(внутренняя необходимость) ${ displaystyle vdash Box A rightarrow Box Box A}$ : Если A доказуемо, то доказуемо.
(распределительная коробка) ${ Displaystyle vdash Box (A rightarrow B) rightarrow ( Box A rightarrow Box B)}$ : Это правило позволяет вам выполнять modus ponens внутри оператора доказуемости. Если доказуемо, что A влечет B и A доказуемо, то B доказуемо.

Доказательство теоремы Лёба.

Предположим, что есть модальное предложение ${ displaystyle P}$ такой, что ${ displaystyle vdash Box P rightarrow P}$ .
Грубо говоря, это теорема, что если ${ displaystyle P}$ доказуемо, то это действительно так.
Это требование прочность.
Из существования модальных неподвижных точек для каждой формулы (в частности, формулы ${ Displaystyle X rightarrow P}$ ) следует, что существует предложение ${ displaystyle Psi}$ такой, что ${ Displaystyle vdash Psi leftrightarrow ( Box Psi rightarrow P)}$ .
Из 2 следует, что ${ Displaystyle vdash Psi rightarrow ( Box Psi rightarrow P)}$ .
Из правила необходимости следует, что ${ Displaystyle vdash Box ( Psi rightarrow ( Box Psi rightarrow P))}$ .
Из 4 и правила распределенности ящика следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi rightarrow Box ( Box Psi rightarrow P)}$ .
Применение правила распределенности коробки с ${ Displaystyle A = Box Psi}$ и ${ Displaystyle B = P}$ дает нам ${ Displaystyle vdash Box ( Box Psi rightarrow P) rightarrow ( Box Box Psi rightarrow Box P)}$ .
Из 5 и 6 следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi rightarrow ( Box Box Psi rightarrow Box P)}$ .
Из правила внутренней необходимости следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi rightarrow Box Box Psi}$ .
Из 7 и 8 следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi rightarrow Box P}$ .
Из 1 и 9 следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi rightarrow P}$ .
Из 2 следует, что ${ Displaystyle vdash ( Box Psi rightarrow P) rightarrow Psi}$ .
Из 10 и 11 следует, что ${ displaystyle vdash Psi}$
Из 12 и правила необходимости следует, что ${ Displaystyle vdash Box Psi}$ .
Из 13 и 10 следует, что ${ displaystyle vdash P}$ .

Примеры

Непосредственным следствием теоремы Лёба является то, что если п не доказуемо в PA, то "если п доказуемо в PA, то п верно "не доказуемо в PA. Учитывая, что мы знаем, что PA согласован (но PA не знает, что PA согласован), вот несколько простых примеров:

"Если ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ доказуемо в PA, то ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ "не доказуемо в PA, поскольку ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ не доказуемо в PA (так как ложно).
"Если ${ displaystyle 1 + 1 = 2}$ доказуемо в PA, то ${ displaystyle 1 + 1 = 2}$ "доказуемо в PA, как и любое утверждение вида" Если X, то ${ displaystyle 1 + 1 = 2}$ ".
"Если усиленная конечная теорема Рамсея доказуема в PA, то усиленная конечная теорема Рамсея верна »не доказуема в PA, так как« Усиленная конечная теорема Рамсея верна »не доказуема в PA (несмотря на то, что она истинна).

В Доксастическая логика, Теорема Лёба показывает, что любая система, классифицируемая как рефлексивный "тип 4 "рассуждающий также должен быть"скромный": такой рассуждающий никогда не может поверить, что" моя вера в P будет означать, что P истинно ", не поверив сначала, что P истинно.^[1]

Вторая теорема Гёделя о неполноте следует из теоремы Лёба заменой ложного утверждения ${ displaystyle bot}$ за п.

Обратное: из теоремы Лёба следует существование модальных неподвижных точек

Из существования модальных неподвижных точек следует не только теорема Лёба, но и обратное. Когда теорема Лёба представлена как аксиома (схема), существование неподвижной точки (с точностью до доказуемой эквивалентности) ${ displaystyle p leftrightarrow A (p)}$ для любой формулы А(п) модализовано в p можно вывести.^[2] Таким образом, в нормальная модальная логика, Аксиома Лёба эквивалентна конъюнкции схемы аксиом 4, ${ Displaystyle ( Box A rightarrow Box Box A)}$ , и существование модальных неподвижных точек.

Примечания

^ Если только PA не противоречит (в этом случае каждое утверждение доказуемо, включая ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ ).

Цитаты

^ Смуллян, Раймонд М., (1986) Логики, рассуждающие о себе, Материалы конференции 1986 года по теоретическим аспектам рассуждений о знаниях, Монтерей (Калифорния), Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско (Калифорния), стр. 341-352
^ Пер Линдстрем (июнь 2006 г.). «Примечание о некоторых конструкциях с фиксированной точкой в логике обеспечения возможности». Журнал философской логики. 35 (3): 225–230. Дои:10.1007 / s10992-005-9013-8.

внешняя ссылка

[1] Если только PA не противоречит (в этом случае каждое утверждение доказуемо, включая ${ displaystyle 1 + 1 = 3}$ ).

[2] Смуллян, Раймонд М., (1986) Логики, рассуждающие о себе, Материалы конференции 1986 года по теоретическим аспектам рассуждений о знаниях, Монтерей (Калифорния), Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско (Калифорния), стр. 341-352

[3] Пер Линдстрем (июнь 2006 г.). «Примечание о некоторых конструкциях с фиксированной точкой в логике обеспечения возможности». Журнал философской логики. 35 (3): 225–230. Дои:10.1007 / s10992-005-9013-8.

[примечание 1]

[1]

[2]