Преобразование Лагерра - Laguerre transform

В математике Преобразование Лагерра является интегральное преобразование назван в честь математика Эдмон Лагерр, который использует обобщенные Полиномы Лагерра ${ Displaystyle L_ {п} ^ { альфа} (х)}$ как ядра преобразования.^[1][2][3][4]

Преобразование Лагерра функции ${ displaystyle f (x)}$ является

${ Displaystyle L {е (х) } = { тильда {f}} _ { alpha} (n) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} x ^ { альфа} L_ {n} ^ { alpha} (x) f (x) dx}$

Обратное преобразование Лагерра дается формулой

${ displaystyle L ^ {- 1} {{ tilde {f}} _ { alpha} (n) } = f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} ^ {- 1} { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} { tilde {f}} _ { alpha} (n) L_ {n} ^ { alpha} (х)}$

Некоторые пары преобразований Лагерра

${ Displaystyle е (х) ,}$	${ Displaystyle { тильда {f}} _ { alpha} (п) ,}$
${ Displaystyle х ^ {а-1}, а> 0 ,}$	${ Displaystyle { гидроразрыва { Гамма (а + альфа) Гамма (п-а + 1)} {п! Гамма (1-а)}}}$
${ displaystyle e ^ {- ax}, a> -1 ,}$	${ Displaystyle { frac { Gamma (п + альфа +1) а ^ {п}} {п! (а + 1) ^ {п + альфа +1}}}}$
${ Displaystyle грех топор, а> 0, альфа = 0 ,}$	${ displaystyle { frac {a ^ {n}} {(1 + a ^ {2}) ^ { frac {n + 1} {2}}}} sin left [n tan ^ {- 1 } { frac {1} {a}} + tan ^ {- 1} (- a) right]}$
${ Displaystyle соз топор, а> 0, альфа = 0 ,}$	${ displaystyle { frac {a ^ {n}} {(1 + a ^ {2}) ^ { frac {n + 1} {2}}}} cos left [n tan ^ {- 1 } { frac {1} {a}} + tan ^ {- 1} (- a) right]}$
${ Displaystyle L_ {м} ^ { альфа} (х) ,}$	${ Displaystyle { binom {п + альфа} {п}} Gamma ( alpha +1) delta _ {mn}}$
${ displaystyle e ^ {- ax} L_ {m} ^ { alpha} (x) ,}$	${ Displaystyle { гидроразрыва { Гамма (п + альфа +1) Гамма (м + альфа +1)} {п! м! Гамма ( альфа +1)}} { гидроразрыва {(а-1) ^ {n-m + alpha +1}} {a ^ {n + m + 2 alpha +2}}} {} _ {2} F_ {1} left (n + alpha +1; { frac { m + alpha +1} { alpha +1}}; { frac {1} {a ^ {2}}} right)}$[5]
${ Displaystyle е (х) х ^ { бета - альфа} ,}$	${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {n} (m!) ^ {- 1} ( alpha - beta) _ {m} L_ {n-m} ^ { beta} (x)}$
${ Displaystyle е ^ {х} х ^ {- альфа} гамма ( альфа, х) ,}$	${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} { frac { Gamma ( alpha +1)} {n + 1}}}$
${ Displaystyle х ^ { бета}, бета> 0 ,}$	${ displaystyle Gamma ( alpha + beta +1) sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} (- beta) _ {n} { гидроразрыв { Gamma ( alpha +1)} { Gamma (n + alpha +1)}}}$
${ displaystyle (1-z) ^ {- ( alpha +1)} exp left ({ frac {xz} {z-1}} right), | z | <1, alpha geq 0 ,}$	${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} Gamma ( alpha +1) z ^ {n}}$
${ displaystyle (xz) ^ {- alpha / 2} e ^ {z} J _ { alpha} left [2 (xz) ^ {1/2} right], | z | <1, альфа geq 0 ,}$	${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} { frac { Gamma ( alpha +1)} { Gamma (n + alpha +1 )}} z ^ {n}}$
${ Displaystyle { frac {d} {dx}} е (х) ,}$	${ displaystyle { tilde {f}} _ { alpha} (n) - alpha sum _ {k = 0} ^ {n} { tilde {f}} _ { alpha -1} (k) + sum _ {k = 0} ^ {n-1} { tilde {f}} _ { alpha} (k)}$
${ Displaystyle х { гидроразрыва {d} {dx}} е (х), альфа = 0 ,}$	${ Displaystyle - (п + 1) { тильда {f}} _ {0} (п + 1) + п { тильда {f}} _ {0} (п)}$
${ displaystyle int _ {0} ^ {x} f (t) dt, alpha = 0 ,}$	${ displaystyle { tilde {f}} _ {0} (n) - { tilde {f}} _ {0} (n-1)}$
${ displaystyle e ^ {x} x ^ {- alpha} { frac {d} {dx}} left [e ^ {- x} x ^ { alpha +1} { frac {d} {dx }} right] f (x) ,}$	${ Displaystyle -n { тильда {f}} _ { alpha} (п)}$
${ displaystyle left {e ^ {x} x ^ {- alpha} { frac {d} {dx}} left [e ^ {- x} x ^ { alpha +1} { frac { d} {dx}} right] right } ^ {k} f (x) ,}$	${ Displaystyle (-1) ^ {к} п ^ {к} { тильда {f}} _ { альфа} (п)}$
${ Displaystyle L_ {п} ^ { альфа} (х), альфа> -1 ,}$	${ displaystyle { frac { Gamma (п + альфа +1)} {п!}}}$
${ Displaystyle xL_ {п} ^ { альфа} (х), альфа> -1 ,}$	${ Displaystyle { гидроразрыва { Гамма (п + альфа +1)} {п!}} (2n + 1 + альфа)}$
${ displaystyle { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} f (t) dt int _ {0} ^ { pi} e ^ { { sqrt {xt}} cos theta} cos ({ sqrt {xt}} sin theta) g (x + t-2 { sqrt {xt}} cos theta) d theta, альфа = 0 ,}$	${ displaystyle { tilde {f}} _ {0} (n) { tilde {g}} _ {0} (n)}$
${ displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1)} {{ sqrt { pi}} Gamma (n + 1)}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} t ^ { alpha} f (t) dt int _ {0} ^ { pi} e ^ {- { sqrt {xt}} cos theta} sin ^ {2 alpha} theta g (x + t + 2 { sqrt {xt}} cos theta) { frac {J _ { alpha -1/2} ({ sqrt {xt}} sin theta)} {[({ sqrt {xt}} sin theta) / 2] ^ { alpha -1/2}}} d theta ,}$	${ Displaystyle { тильда {е}} _ { альфа} (п) { тильда {г}} _ { альфа} (п)}$[6]

Рекомендации