Постоянная Ландау – Рамануджана - Landau–Ramanujan constant

В математика и область теория чисел, то Постоянная Ландау – Рамануджана положительное действительное число б что встречается в теореме, доказанной Эдмунд Ландау в 1908 г.,^[1] заявляя, что для больших Икс, номер положительные целые числа ниже Икс это сумма двух квадратные числа ведет себя асимптотически как

${ displaystyle { dfrac {bx} { sqrt { ln (x)}}}.}$

Эта постоянный б был заново открыт в 1913 году Шриниваса Рамануджан, в первом письме он написал G.H. Харди.^[2]

Суммы двух квадратов

Посредством теорема о сумме двух квадратов, числа, которые могут быть выражены как сумма двух квадратов целых чисел, - это те числа, для которых каждое простое число конгруэнтно 3 mod 4 появляется с четным показателем в их простые множители. Например, 45 = 9 + 36 - это сумма двух квадратов; в разложении на простые множители, 3² × 5 простое число 3 появляется с четным показателем, а простое число 5 конгруэнтно 1 по модулю 4, поэтому его показатель может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если N(Икс) - количество натуральных чисел меньше Икс это сумма двух квадратов, то

${ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} N (x) left / { dfrac {x} { sqrt { ln (x)}}} right. = b приблизительно 0,764223653589220662990698731250092328116790541}$ (последовательность A064533 в OEIS ),

где б - постоянная Ландау – Рамануджана.

История

Эта постоянная была указана Ландау в предельной форме выше; Рамануджан вместо приближенного N(Икс) в виде интеграла, с той же постоянной пропорциональности и с медленно растущим членом ошибки.^[3]

использованная литература