Сеть задержки решетки - Lattice delay network

Сети с задержкой на решетке являются важной подгруппой решетчатые сети. Они есть всепроходные фильтры, поэтому они имеют плоскую амплитудную характеристику, но фазовую характеристику, которая изменяется линейно (или почти линейно) с частотой. Все решетчатые схемы, независимо от их сложности, основаны на схеме, показанной ниже, которая содержит два последовательных импеданса Za и два шунтирующих сопротивления Zb. Хотя в этой схеме есть дублирование импедансов, она предлагает большую гибкость для разработчика схем, так что, помимо использования в качестве сети задержки (как показано здесь), она может быть сконфигурирована как фазовращатель,^[1] дисперсионная сеть,^[2] эквалайзер амплитуды,^[3] или фильтр нижних частот (или полосовой),^[4] по выбору комплектующих элементов решетки.

Это показано в Решетчатые сети что когда решетка настроена как сеть задержки, у нее есть характеристическое сопротивление резистивный (= Ro), его импедансы Za и Zb равны двойное сопротивление, т.е. Za · Zb = Ro² (или Za / Ro = Ro / Zb), а Za и Zb состоят из катушек индуктивности и конденсаторов. Такая решетка является сеть постоянного сопротивления и всепроходный фильтр, и имеет фазовый отклик, определяемый свойствами Za. Это делает его идеальным в качестве устройства задержки, поскольку его можно включить в каскад других секций фильтра, не влияя на общую амплитудную характеристику, и при этом не возникнет проблем с рассогласованием, но это увеличит наклон фазы (то есть задержку) всей сборки. .

Чтобы достичь желаемой задержки, необходимо выбрать конкретные компоненты для Za и Zb, и методы проектирования для этого приведены в следующих разделах. Однако, независимо от используемого метода, сети обеспечивают постоянную задержку только в конечной полосе частот, поэтому, если требуется увеличение полосы пропускания и / или задержки, необходимы более сложные решения для Za и Zb.
Обычно Za и Zb сосредоточенный элемент полное сопротивление, подходящее для сетей, работающих на аудио или видео частотах, но работающих до v.h.f. и даже u.h.f. тоже возможно. Иногда процедуры проектирования могут привести к тому, что Za и Zb будут очень сложными сетями, но всегда можно получить каскад более простых решеток с идентичными электрическими характеристиками,^[4] если это предпочтительнее.

Секция задержки решетки имеет вдвое большую задержку, чем сопоставимая секция лестничного фильтра, и это помогает снизить опасения по поводу дублирования компонентов. В любом случае конфигурация решетки может быть преобразована в несбалансированный эквивалент, что уменьшит количество компонентов и позволит несколько ослабить допуски компонентов.^[5] Следовательно, участки задержки решетки или их мостовая Т-цепь эквиваленты, способны обеспечить значительные задержки по времени в компактной физической форме и эффективно использовать свою рабочую полосу пропускания. Хотя есть и другие способы достижения задержки сигнала, например, с помощью коаксиального кабеля большой длины или сосредоточенный элемент В лестничных сетях такие решения либо имеют большую физическую массу, либо они неэффективно используют полосу частот, либо имеют плохую линейность фазы.

Методы расчета решетчатых задержек

Первоначально конструкции задержек на решетке основывались на теории изображений.^[4][6] в котором целью было моделировать конечную длину линии передачи. Потом, сетевой синтез были введены методы.

Обычно выбираемый ответ для сети задержки - это максимально плоский характеристика групповой задержки.^[7] Этот отклик задержки не имеет пульсаций и идеально плавный по всей полосе пропускания, отклоняясь от среднего значения только при достижении края полосы. Первоначально такой ответ может считаться идеальным для сети с задержкой, но он не обязательно является наиболее эффективным, и для достижения более широкой полосы пропускания для данной задержки требуется сеть более высокого порядка. Тем не менее, некоторое увеличение полосы пропускания также возможно без увеличения сложности схемы за счет рассмотрения альтернативных характеристик, когда отклики фазовой и групповой задержки могут колебаться в пределах полосы пропускания.^[8]’.^[9]

Существует несколько процедур проектирования, с помощью которых может быть достигнуто желаемое линейно-фазовое приближение, максимально плоское или с пульсацией. Эти методы включают методы теории изображений, метод потенциального аналога и разложение Тейлора групповой задержки, все из которых описаны в следующих разделах.

В ситуациях, когда симметричная сеть не подходит, требуется несимметричная цепь, работающая с заземляющей пластиной. В таких случаях преобразование решетки в мостовая Т-цепь проводится, как описано в статье Решетчатая сеть. Получающаяся несбалансированная сеть имеет те же электрические характеристики, что и сбалансированная решетчатая сеть, на которой она основана. Пример этой процедуры приведен в следующем разделе.

Сети, основанные на теории изображений

Идеальная характеристика линии задержки имеет постоянное затухание и линейное изменение фазы с частотой, то есть может быть выражена как

${ Displaystyle Т (п) = е ^ {- р тау}}$

куда τ это требуемая задержка.

Как показано в решетчатые сети, рядные плечи решетки za имеют вид

${ displaystyle z_ {a} = { frac {1} {z_ {b}}} = { frac {1-T (p)} {1 + T (p)}} qquad { text {so} } qquad z_ {a} = { frac {1-e ^ {- p tau}} {1 + e ^ {- p tau}}} = tanh left ({ frac {p tau} {2}} right)}$

В более общем смысле, для решетчатых цепей, имеющих задержку τ с, с характеристическим импедансом Zo, выражения для Za и Zb имеют вид^[4]${ Displaystyle Z_ {a} = Z_ {0} tanh left ({ frac {p tau} {2}} right) quad { text {and}} quad Z_ {b} = Z_ { 0} coth left ({ frac {p tau} {2}} right) quad { text {where}} quad Z_ {a} cdot Z_ {b} = Z_ {0} ^ { 2}}$

В качестве е^−Икс и танх (Икс) не рациональные функции, точные решения для z_а и z_б невозможны, поэтому необходимо использовать некоторую форму приближения.

Приближение непрерывной дроби

Непрерывное расширение фракции tanh (Икс)^{[1][4][10][11]} является

${ displaystyle tanh (x) = { cfrac {1} {{ cfrac {1} {x}} + { cfrac {1} {{ cfrac {3} {x}} + { cfrac {1} } {{ cfrac {5} {x}} + { cfrac {1} {{ cfrac {7} {x}} + cdots}}}}}}}}}$

Итак, для сети с задержкой в ​​1 секунду z_а можно написать

${ displaystyle z_ {a} (p) = tanh left ({ frac {p} {2}} right) = { cfrac {1} {1 cdot { cfrac {2} {p}} + { cfrac {1} {3 cdot { cfrac {2} {p}} + { cfrac {1} {5 cdot { cfrac {2} {p}} + { cfrac {1} { cdots}}}}}}}}}$

Точное решение требует бесконечного числа членов, но приближение n-го порядка получается завершением z_а после n элементов. (Если последний оставшийся компонент представляет собой конденсатор, оставшаяся часть сети заменяется коротким замыканием). Так, например, завершение этого выражения после шести членов даст задержку шестого порядка, которая может быть синтезирована непосредственно методами Кауэра.^[4][11] чтобы дать показанную сеть.

Схема для z_б легко найти из этого решения, поскольку оно является двойственным к z_а, и является

Хотя эта схема z_б было легко получить, он не обязательно самый идеальный. Если в конечном итоге потребуется несбалансированная эквивалентная схема решетки, было бы лучше, если бы z_б начал с последовательного индуктора (см. Решетчатые сети ). Для этого сначала необходимо умножить разложение в непрерывную дробь для z_а, для этого примера, чтобы дать z_а (и z_б в частности) как отношение многочленов от p. Это

${ displaystyle z_ {a} (p) = { frac {24p ^ {5} + 10080p ^ {3} + 332640p} {p ^ {6} + 840p ^ {4} + 75600p ^ {2} +665280} } = { frac {1} {z_ {b} (p)}}}$

а для альтернативы Кауэра I разложение происходит следующим образом

${ displaystyle z_ {b} = { frac {1} {42}} p + Z_ {1} (p) quad { text {where}} quad Y_ {1} (p) = { frac { 1} {Z_ {1} (p)}} = { frac {42p ^ {5} + 10080p ^ {3} + 332640p} {600p ^ {4} + 67680p ^ {2} +665280}}}$

${ displaystyle Y_ {1} (p) = { frac {42} {600}} p + Y_ {2} (p) quad { text {where}} quad Z_ {2} (p) = { frac {1} {Y_ {2} (p)}} = { frac {600p ^ {4} + 67680p ^ {2} +665280} {5342.4p ^ {3} + 286070.4p}}}$

и так далее, пока не будет получена сеть, показанная ниже.

Дальнейшие детали решетчатых цепей, использующих эти импедансы, будут рассмотрены в разделе примеров ниже.

Теперь, как показано на Решетчатые сети, передаточная функция этой решетки определяется выражением

${ displaystyle T (p) = { frac {1-z_ {a}} {1 + z_ {a}}}}$

так

${ displaystyle T (p) = { frac {p ^ {6} -42p ^ {5} + 840p ^ {4} -10080p ^ {3} + 75600p ^ {2} -332640p + 665280} {p ^ { 6} + 42p ^ {5} + 840p ^ {4} + 10080p ^ {3} + 75600p ^ {2} + 332640p + 665280}}}$

Исходя из этого, можно рассчитать фазовый график для этой универсальной функции шестого порядка, который приведен ниже.

Этот ответ такой же, как у максимально плоский задержка, которая выводится в более позднем разделе. (Фактически, вывод z_а с помощью метода непрерывных дробей приводит к семейству решеток, каждая из которых имеет максимально плоскую характеристику групповой задержки). График фазовой ошибки (т.е. отклонение отклика от линейного) этого отклика можно найти в разделе, посвященном максимально плоский сети задержки, где даются ответы сетей нескольких порядков.

Сети, полученные с использованием метода потенциальных аналогов

Метод потенциального аналога был предложен Дарлингтоном.^[12] как простой способ выбора положения полюс-ноль для сетей задержки. Этот метод позволяет разработчику реализовать характеристику задержки, интуитивно расположив полюсы и ноль на комплексной частотной плоскости, без необходимости сложной математики или обращения к справочным таблицам.

Другие аналоговые методы, которые были разработаны, чтобы помочь проектировщику выбрать нулевые положения полюса для своих сетей, включают «модель резинового листа».^[13][14] и «электролитический бак».^[15][16] и Teledeltos бумага^[17]

Процедура Дарлингтона начинается с рассмотрения поля между двумя пластинами конденсатора с параллельными пластинами. Поле однородно внутри пластин и отклоняется от линейного только за пределами пластин. Для увеличения длины, на которой поле является однородным, длина пластин увеличивается по мере необходимости. Следующим шагом является замена однородных пластин заряженными нитями с равномерным интервалом, которые дают такое же поле, но могут привести к «ошибке гранулярности» (или пульсации). Наконец, эквивалентная электрическая сеть получается заменой локализованных зарядов волокна на полюса и нули, где характеристика групповой задержки соответствует электрическому полю в аналоге потенциала.

Типичное расположение полюсов и нулей для номинальной электрической цепи с постоянной групповой задержкой следует схеме, показанной на рисунке ниже (см. Также Stewart^[1]). Полюса и нули лежат на двух линиях конечной длины, параллельных оси jω на расстоянии «а» от нее. Кроме того, они разнесены на расстоянии «b» друг от друга в направлении jω.

В целом Дарлингтон показал, что групповая задержка и эффект гранулярности определяются выражением

${ displaystyle { text {GD}} = - { frac {d phi} {d omega}} = { frac {2 pi} {b}} pm { frac {4 pi} { b}} exp left (- { frac {2 pi a} {b}} right) cos left ({ frac {2 pi omega} {b}} right)}$

Хорошее приближение к характеристике единичной задержки получается, если положить а = б = 2π (значение, которое легко запомнить). Однако пульсация задержки (степень детализации), возникающая при использовании этих значений a и b, довольно высока на уровне ± 8% и является лучшим выбором для а составляет 4,4 (= 1,4π), что снижает пульсацию до ± 2,5%. Графики, показанные ниже, предназначены для сетей с увеличивающимся числом полюсов и нулей, для а = 4,4 и б = 2π. Порядок «n» соответствует количеству пар полюс-ноль, присутствующих в сети.

Для частот, выходящих за границу нулевой диаграммы полюсов, групповая задержка страдает ошибкой усечения, но характеристики характеристики на краю полосы частот можно улучшить, слегка изменив положение внешних полюсов и нулей, чтобы компенсировать это внезапное прекращение диаграммы. Дарлингтон обсуждает это в своей статье.^[12]

Сети могут быть реализованы в виде каскада решеток второго порядка (или их мостовых T-эквивалентов) путем выделения комплексно сопряженных четырех полюсов и нулей каждой секции каскада (как показано на Решетчатые сети ). В текущем примере нет пары полюс-ноль, расположенной на действительной оси, поэтому сеть первого порядка не требуется.

Сети с максимально плоской характеристикой групповой задержки

Общее выражение для передаточной функции сети с фильтром нижних частот дается выражением

${ Displaystyle T (p) = { frac {1} {p ^ {n} + ap ^ {n-1} + bp ^ {n-2} + cp ^ {n-3} + dp ^ {n- 4} + cdots}}}$

Характеристика групповой задержки для этого выражения может быть получена как разложение в степенной ряд по ω около нулевой частоты (т. Е. Серия Маклаурина ). Это описывается как максимально плоский характеристика, когда как можно больше коэффициентов ω в степенном ряду равняется нулю, путем соответствующего выбора значений для а, б, c, d, так далее.^[7][18][19] При получении этой характеристики мало внимания уделяется результирующей амплитудной характеристике фильтра нижних частот. (Фактически, это приближается к гауссовой форме).

Временная задержка для низкочастотной сети порядка п, с требуемыми характеристиками, чтобы быть максимально плоскими, определяется выражением

${ displaystyle t_ {d} = - { frac {d phi} {d omega}} = t_ {0} { frac {b_ {0} + b_ {1} omega ^ {2} + b_ { 2} omega ^ {4} + cdots + b_ {n-1} omega ^ {2n-1}} {b_ {0} + b_ {1} omega ^ {2} + b_ {2} omega ^ {4} + cdots + b_ {n-1} omega ^ {2n-1} + b_ {n} omega ^ {2n}}}}$

где первые (n-1) коэффициенты знаменателя равны соответствующим коэффициентам числителя. В этом случае, когда Серия Маклаурина для t_d выводится путем деления знаменателя на числитель, результат:

${ displaystyle t_ {d} = t_ {0} left (1 - { frac {b_ {n}} {b_ {0}}} omega ^ {2n} + { frac {b_ {1} b_ { n}} {b_ {0} ^ {2}}} omega ^ {2n + 2} - cdots right)}$

с первым (п - 1) производные от t_d (рассматривается как функция ω²) в ω = 0 все равны нулю. В этом конкретном выражении максимально плоский отклик имеет порядокп.

При максимально плоской характеристике задержка остается постоянной, равной значению нулевой частоты, в конечном диапазоне частот, но за пределами этого диапазона задержка плавно уменьшается с увеличением частоты. Сети высшего порядка имеют более широкую полосу пропускания.

Полупроходные схемы получаются, когда нули вводятся в правую половину комплексной частотной плоскости в местах, которые являются зеркальными отображениями левых полюсов. Такая процедура решает проблему плохих характеристик полосы пропускания фильтров нижних частот с дополнительным преимуществом, заключающимся в том, что результирующие сети обладают свойством постоянного сопротивления. Общий отклик для многопроходной схемы с максимально ровной задержкой определяется выражением

${ Displaystyle T (p) = { frac {p ^ {n} -ap ^ {n-1} + bp ^ {n-2} -cp ^ {n-3} + dp ^ {n-4} - ep ^ {n-5} + cdots} {p ^ {n} + ap ^ {n-1} + bp ^ {n-2} + cp ^ {n-3} + dp ^ {n-4} + ep ^ {n-5} + cdots}}}$

Введение нулей таким образом дает вдвое большую задержку по сравнению с всеполюсным фильтром нижних частот, но фазовая характеристика по-прежнему сохраняет желаемую максимально ровную характеристику. Схема может быть реализована в виде единой решетчатой ​​сети или каскада решеток низкого порядка, как показано ниже в некоторых примерах, как в решетчатые сети.

В качестве примера того, как происходит типичный вывод, рассмотрим функцию фильтра нижних частот 6-го порядка. Его передаточная функция Т(п) дан кем-то

${ displaystyle T (p) = { frac {1} {p ^ {6} + ap ^ {5} + bp ^ {4} + cp ^ {3} + dp ^ {2} + ep + f}} }$

Цель состоит в том, чтобы определить значения для а, б, c, d, е, и ж так что групповое запаздывание функции будет максимально плоским.

${ displaystyle { text {Now}} quad T (j omega) = { frac {1} {(fd omega ^ {2} + b omega ^ {4} - omega ^ {6}) + j omega (ec omega ^ {2} + a omega ^ {4})}}}$

А фазовая характеристика функции равна φ, куда

${ displaystyle phi = arg (t) = arctan left [{ frac { omega (ec omega ^ {2} + a omega ^ {4})} {fd omega ^ {2} + б omega ^ {4} - omega ^ {6}}} right]}$

куда

${ displaystyle u = omega (ec omega ^ {2} + a omega ^ {4} qquad { text {so}} quad { frac {du} {d omega}} = e-3c omega ^ {2} + 5a omega ^ {4}}$

и

${ displaystyle v = fd omega ^ {2} + b omega ^ {4} - omega ^ {6} qquad { text {so}} quad { frac {dv} {d omega}} = -2d omega + 4b omega ^ {3} -6 omega ^ {6}}$

Групповая задержка составляет

${ displaystyle { text {GD}} = - { frac {d phi} {d omega}} = { frac {1} {u ^ {2} + v ^ {2}}} left ( v { frac {du} {d omega}} - и { frac {dv} {d omega}} right)}$

Вставка выражений для u и v и перестановка дает следующее уравнение для групповой задержки. Обратите внимание, что групповая задержка на этом этапе удвоена, так что результаты будут применяться к сети с полным проходом шестого порядка, а не к сети с низким проходом. Таким образом, мы имеем

${ displaystyle GD _ { text {all-pass}} = { frac {2 [ef + (de-3cf) omega ^ {2} + (cd + 5af-3ad) omega ^ {4} + (5e + bc-3ad) omega ^ {6} + (ab-3c) omega 8 + a omega ^ {10}} {f ^ {2} + (e ^ {2} -2df) omega ^ {2} + (d ^ {2} + 2bf-2Ce) omega ^ {4} + (c ^ {2} + 2ae-2f-2bd) omega ^ {6} + (2d + b ^ {2} -2ac) omega ^ {8} + (a ^ {2} -2b)}}}$

Выбрав GD = 1, когда ω = 0 и приравнивая коэффициенты в числителе и знаменателе, шесть соотношений для шести неизвестных а, б, c, d, е, и ж получены:

${ displaystyle 2ef = f ^ {2} qquad 2 (de-3cf) = e ^ {2} -2df qquad 2 (cd + 5af-3be) = d ^ {2} + 2bf-2ce}$

${ Displaystyle 2 (5e + bc-3ad) = c ^ {2} + 2ae-2f-2bd qquad 2 (ab-3c) = 2d + b ^ {2} -2ac qquad 2a = a ^ {2} -2b}$

Решение этих шести уравнений относительно неизвестных дает

${ displaystyle a = 42; quad b = 840; quad c = 10080; quad d = 75600; quad e = 332640; quad f = 665280}$

Итак, всепроходный фильтр шестого порядка с максимально ровной задержкой в ​​1 сек. является

${ displaystyle T (p) = { frac {p ^ {6} -42p ^ {5} + 840p ^ {4} -10080p ^ {3} + 75600p ^ {2} -33260p + 665280} {p ^ { 6} + 42p ^ {5} + 840p ^ {4} + 10080p ^ {3} + 75600p ^ {2} + 33260p + 665280}}}$

Это выражение для Т(п) идентично полученному ранее для задержки шестого порядка методом непрерывной дроби.

Аналогичную процедуру можно использовать для определения передаточных функций сетей всех порядков, которые имеют максимально плоскую временную задержку, хотя процедура действительно становится утомительной для более высоких порядков. Более удобный способ получения коэффициентов полиномов - это отметить что они основаны на полиномах Бесселя, а коэффициенты для многопроходных сетей задаются выражением^[20][21]

${ displaystyle a_ {r} = { frac {(2N-r)!} {2 ^ {N-r} r! (N-r)!}}}$

В качестве альтернативы значения можно получить, просмотрев опубликованные таблицы.^{[7][18][19][22][23]} Однако обратите внимание, что результаты в большинстве этих таблиц относятся к нормализованным сетям нижних частот (многополюсные сети) с задержкой в ​​1 секунду, поэтому использование данных значений коэффициентов непосредственно в выражении для всех проходов приведет к схеме с задержка 2 секунды.

Подборка результатов для беспроходных сетей четного порядка с п = От 2 до 12 приведены ниже. Для краткости полиномы не приводятся, указаны только коэффициенты.

Для этих результатов рассмотрим Т(п) иметь вид ${ Displaystyle T (p) = { frac {N (p)} {D (p)}}.}$

В знаменателе многочлена D(п) все коэффициенты положительны, тогда как в полиноме числителя N(п), для коэффициентов принимаются отрицательные значения, если они указаны.

Положения полюса и нуля на комплексной частотной плоскости для этих откликов, полученные путем факторизации полиномов, следующие.

Графики фазовой ошибки (т. Е. Отклонения фазовой характеристики от линейной) для цепей четного порядка от n = 2 до 12 приведены на сопровождающем рисунке.

Все характеристики задержки могут быть реализованы в виде единой решетчатой ​​сети или каскада решеток второго порядка путем выделения симметричной группы (квадрата) из двух полюсов и двух нулей каждой решетке второго порядка в сети и использования отношения, данные в Решетчатая сеть. См. «Примеры решетчатых схем» ниже для получения дополнительной информации о реализации схемы.

Сети задержки с пульсацией фазы полосы пропускания

Максимально ровный отклик не очень эффективен. Он имеет отличную линейную фазовую характеристику в пределах своей рабочей полосы пропускания, но для получения больших задержек необходимы большие сложные сети. Однако, позволяя фазовой характеристике колебаться в пределах полосы пропускания, сеть определенного порядка может достичь более широкой полосы пропускания (или большей задержки для данной полосы пропускания).

Допустимый уровень пульсаций задержки (или фазовых пульсаций), вносимых схемой, очень сильно зависит от приложения, в котором используется сеть.^[24] В ситуациях, когда важна точность формы сигнала или импульса, допустимая пульсация очень мала. В случае сигналов аналогового телевидения, например, содержание изображения также имеет отношение к допустимым уровням искажений системы. (Для телевизионных изображений пульсация фазы будет давать эффекты, похожие на "двоение" или многолучевой прием, когда на основное изображение накладываются несколько изображений низкого уровня. Еще одним результатом нелинейной фазы является "звон" после переходных краев. ухудшение изображения часто зависит от отображаемой сцены). Уиллер, используя метод «парных эхо-сигналов», предположил, что для телевизионных сигналов допустима фазовая пульсация 0,1 рад, размах (или 6 градусов, размах).^[25] Другие авторы предполагают, что пульсация групповой задержки в несколько процентов допустима.^[26] При оценке допустимых искажений можно установить пределы асимметрии формы волны, уровня выбросов и предварительных выбросов, а также деградации времени нарастания, и это обсуждается в разделе «Переходные испытания» ниже.

Сети задержки, полученные с помощью чебышевской пульсации

Подробные сведения о положениях полюсов для сетей нижних частот, которые имеют групповую задержку с характеристикой «чебышевской пульсации» в полосе пропускания, для различных порядков фильтра и различных уровней пульсации, были рассчитаны и опубликованы Ulbrich et al.^[8] и MacNee.^[27] Приведенные ниже таблицы, основанные на этих данных, относятся к многопроходным сетям. Фильтр заданного порядка может обеспечить большую задержку и / или полосу пропускания, если допускается большее колебание фазы полосы пропускания.

Положение полюса-нуль для сетей со всем проходом с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 1%:

Положение полюса-нуль для сетей со средней задержкой и пульсацией групповой задержки 2%:

Положение полюса-нуль для сетей со всем проходом с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 5%:

Положение полюса - ноль для сетей со средним значением задержки и 10% пульсаций групповой задержки:

Сеть с задержкой может быть удобно составлена ​​из каскада решетчатых сетей второго порядка, с распределением четырех полюсов и нулей из таблиц выше для каждой секции. Пример сети четвертого порядка с пульсацией групповой задержки 10% будет рассмотрен позже.

Задержка пульсации с использованием бесконечных приближений произведения

Альтернативная форма пульсации групповой задержки, предпочтительнее, чем пульсация Чебышева равной амплитуды, имеет пульсации малой амплитуды на низких частотах, но пульсации возрастающей амплитуды с увеличением частоты. Эта характеристика более желательна, чем характеристика Чебышева, поскольку фазовые ошибки малы на низких частотах (где спектр типичных сигналов имеет высокое содержание энергии), но могут быть высокими на более высоких частотах (где содержание энергии в спектре ниже). .

Подходящая характеристика пульсаций получается путем приближения степенного ряда для sinh (x) и ch (x),^[1][10] вместо того, чтобы выводить расширение непрерывной дроби tanh (x), как это было сделано ранее. Обычно при этой процедуре пульсация на фазовой характеристике отклоняется на ± 5% от среднего (линейного) значения.

Эти результаты аналогичны результатам, полученным с помощью «метода принудительной пульсации»,^[9][28] где используется метод аппроксимации кривой на конечном числе частот фазовой характеристики.

Для нормированных сетей (Zo = 1) с единичной временной задержкой уравнения для za и zb могут быть записаны

${ displaystyle z_ {a} = tanh left ({ frac {p} {2}} right) = { frac { sinh (p / 2)} {cosh (p / 2)}} qquad { text {and}} qquad z_ {b} = coth left ({ frac {p} {2}} right) = { frac { ch (p / 2)} {sinh (p / 2)}}}$

sinh (Икс) и ch (Икс) могут быть представлены бесконечными произведениями,^[1][10] и это

${ displaystyle sinh (x) = x prod _ {k = 1} ^ { infty} left (1 + { frac {x ^ {2}} {k ^ {2} pi ^ {2}) }} right) qquad { text {and}} qquad cosh (x) = prod _ {k = 1} ^ { infty} left [1 + { frac {4.x ^ {2 }} {(2k-1) ^ {2} pi ^ {2}}} right]}$

Итак, для сети с единичной задержкой

${ displaystyle z_ {a} = { frac {p} {2}} { frac { left (1 + { frac {p ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) left (1 + { frac {p ^ {2}} {16. pi ^ {2}}} right) left (1 + { frac {p ^ {2}} {36 pi ^ { 2}}} right) cdots} { left (1 + { frac {p ^ {2}} { pi ^ {2}}} right) left (1 + { frac {p ^ { 2}} {9 pi ^ {2}}} right) left (1 + { frac {p ^ {2}} {25 pi ^ {2}}} right) cdots}}}$

Завершение серии после конечного числа членов дает приближение ограниченной полосы пропускания для задержки в 1 секунду. Так, например, выражение для включения членов до p⁴ даст сеть задержки четвертого порядка. В этом случае z_а является

${ displaystyle z_ {a} = K_ {4} { frac {4 pi ^ {2} p + p ^ {3}} {9 pi ^ {4} +10. pi ^ {2} p ^ {2} + p ^ {4}}} qquad { text {where}} qquad K_ {4} = { frac {1 times 9 times pi ^ {2}} {2 times 4} } = { frac {9. pi ^ {2}} {8}}}$

который может быть реализован как лестничная сеть с использованием процедуры Кауэра,^[4] чтобы дать схему ниже для z_а. Как и раньше, двойная сеть z_б, легко получить при осмотре.

Как уже говорилось, передаточная функция нормализованной решетчатой ​​многопроходной сети определяется выражением

${ displaystyle T (p) = { frac {1-z_ {a}} {1 + z_ {a}}}}$

так что для сети четвертого порядка, содержащей импеданс za, полученный разложением в степенной ряд, равен

${ displaystyle T (p) = { frac {p ^ {4} -K_ {4} p ^ {3} +80 pi ^ {2} p ^ {2} -K_ {4} .4 pi ^ {2} p + 9 pi ^ {4}} {p ^ {4} + K_ {4} p ^ {3} +80. Pi ^ {2} p ^ {2} + K_ {4} cdot 4 pi ^ {2} p + 9 pi ^ {4}}} qquad { text {where}} qquad K_ {4} = { frac {9 pi ^ {2}} {8}} }$

Он имеет всепроходную амплитудную характеристику с фазовой характеристикой, показанной на рисунке ниже.

Ниже приведены результаты для сетей четного порядка с n = от 2 до 10. (Как и в случае с результатами, приведенными ранее, полиномы не представлены полностью, указаны только коэффициенты).

В этих результатах ${ Displaystyle Т (р) = { гидроразрыва {N (p)} {D (p)}}}$ где указаны коэффициенты полиномов числителя и знаменателя. Для знаменателя D (p) все коэффициенты положительные, а для числителя N (p) отрицательные значения берутся там, где указано.

Положения полюса и нуля в комплексной частотной плоскости для этих откликов следующие.

Отклики на фазовую ошибку для цепей четного порядка от n = 2 до n = 10 показаны на прилагаемом рисунке.

Сравнивая пропускную способность сетей с пульсацией полосы пропускания и сетей с максимально ровной характеристикой, можно получить увеличение примерно на 50%.

Сравнение трех сетей

В качестве примера рассмотрим производительность сети с максимально плоской задержкой шестого порядка с двумя сетями четвертого порядка, одна с чебышевской пульсацией, а другая с использованием приближения степенного ряда. На рисунке ниже сравниваются графики фазовой ошибки этих трех сетей (сплошная линия соответствует максимально плоскому отклику, пунктирная линия - отклику Чебышева и пунктирная линия - аппроксимации степенного ряда).

Как можно видеть, все три сети с нормализованной задержкой имеют номинальную полосу линейной фазы 1,6 Гц (10 рад / с).

Чтобы сравнить характеристики сетей 4-го порядка с максимально плоской схемой, необходимо использовать соответствующие тестовые формы сигналов. Например, в случае телевизионных сигналов, синус-квадрат импульсы могут быть использованы для^[29][30]

Некоторые примеры цепей задержки на решетке

Все приведенные ниже сети нормированы на единичную задержку и оконечные нагрузки на одно сопротивление. Чтобы масштабировать задержку в τ секунд, умножьте все значения C и L на τ. Чтобы масштабировать для другого уровня импеданса Ro, умножьте все значения L на Ro и разделите все значения C на Ro.

Схемы для максимально плоского отклика шестого порядка

Цепи с одинарной решеткой

В первом примере представлена ​​схема для максимально плоской задержки 6-го порядка. Значения схемы для z_а и z_б для нормированной решетки (с z_б двойник z_а) были даны ранее. Однако в этом примере альтернативная версия z_б используется, так что можно легко создать несбалансированную альтернативу. Схема

где значения компонентов для нормализованной сети с сопротивлением 1 Ом с задержкой в ​​1 секунду на низких частотах:

Используя процедуры Решетчатые сети, это может быть преобразовано в несбалансированную форму, чтобы дать

Схемы с каскадом решеток низкого порядка

Часто бывает желательно разбить решетку на каскад сетей более низкого порядка, поскольку допуски компонентов могут быть ослаблены.

Для выполнения процедуры возьмите три набора данных полюс-нуль из таблицы для максимально плоских функций для n = 6 и используйте методы в Решетчатые сети

Эти значения компонентов используются в схеме, показанной ниже.

Фазовая характеристика этого трехсекционного каскада, конечно, идентична фазовой характеристике одиночной сложной решетки, приведенной ранее.

Этот каскад решеток второго порядка может быть преобразован в несбалансированную конфигурацию методами Решетчатые сети, и показана результирующая схема.

Цепи с фазовой пульсацией

Чебышев, 4-го порядка с пульсацией GD 10%

Из таблиц чебышевских данных, приведенных выше, найдите нулевые положения полюса:

Поэтому используйте эти значения в схеме ниже.

Схема для приближения вынужденной пульсации 4-го порядка

Из таблиц для аппроксимации произведения мощности, приведенных выше, найдите положения полюса-нуля:

Используйте эти значения в схеме, показанной выше.

Обе сети 4-го порядка можно преобразовать в несбалансированную форму с помощью процедур Решетчатые сети

Смотрите также

• Мостовой эквалайзер задержки T
• Эквалайзер фазы решетки

Рекомендации