Топология Ловера – Тирни - Википедия - Lawvere–Tierney topology

В математике Топология Ловера-Тирни является аналогом Топология Гротендика для произвольного топоса, используется для построения топоса пучков. Топологию Ловера – Тирни также иногда называют местный оператор или же покрытие или же топология или же геометрическая модальность. Их представил Уильям Ловер (1971 ) и Майлз Тирни.

Определение

Если E топос, то топология на E это морфизм j от классификатор подобъектов Ω на Ω такие, что j хранит истину ( ${ displaystyle j circ { mbox {true}} = { mbox {true}}}$ ), сохраняет пересечения ( ${ Displaystyle J circ клин = клин circ (j times j)}$ ) и идемпотентна ( ${ displaystyle j circ j = j}$ ).

j-крытие

Коммутативные диаграммы, показывающие, как j- закрытие действует. Ω и т являются классификатор подобъектов. χ_s характерный морфизм s как подобъект А и

{ displaystyle j circ chi _ {s}}

характерный морфизм

{ displaystyle { bar {s}}}

какой j- закрытие s. Два нижних квадрата являются квадратами отката, и они также содержатся на верхней диаграмме: первый в виде трапеции, а второй в виде двухквадратного прямоугольника.

Учитывая подобъект ${ displaystyle s: S rightarrowtail A}$ объекта А с классификатором ${ displaystyle chi _ {s}: A rightarrow Omega}$ , то композиция ${ displaystyle j circ chi _ {s}}$ определяет другой подобъект ${ displaystyle { bar {s}}: { bar {S}} rightarrowtail A}$ из А такой, что s является подобъектом ${ displaystyle { bar {s}}}$ , и ${ displaystyle { bar {s}}}$ считается j-закрытие из s.

Некоторые теоремы, относящиеся к j-замыкание есть (для некоторых подобъектов s и ш из А):

инфляционное свойство: ${ displaystyle s substeq { bar {s}}}$
идемпотентность: ${ displaystyle { bar {s}} Equiv { bar { bar {s}}}}$
сохранение перекрестков: ${ displaystyle { overline {s cap w}} Equiv { bar {s}} cap { bar {w}}}$
сохранение порядка: ${ displaystyle s substeq w Longrightarrow { bar {s}} substeq { bar {w}}}$
устойчивость при откате: ${ Displaystyle { overline {е ^ {- 1} (s)}} Equiv f ^ {- 1} ({ bar {s}})}$ .