Теорема Ляпунова – Малкина. - Lyapunov–Malkin theorem

В Теорема Ляпунова – Малкина. (назван в честь Александр Ляпунов и Иоэль Малкин [RU ]) - математическая теорема, описывающая нелинейную устойчивость систем.^[1][2]

Теорема

В системе дифференциальные уравнения,

${ displaystyle { dot {x}} = Ax + X (x, y), quad { dot {y}} = Y (x, y)}$

куда, ${ Displaystyle х in mathbb {R} ^ {m}}$, ${ Displaystyle у в mathbb {R} ^ {п}}$, ${ displaystyle A}$ в м × м матрица, и Икс(Икс, у), Y(Икс, у) представляют собой нелинейные члены более высокого порядка. Я упал собственные значения матрицы ${ displaystyle A}$ иметь отрицательные реальные части, и Икс(Икс, у), Y(Икс, у) исчезают, когда Икс = 0, то решение Икс = 0, у = 0 этой системы устойчиво относительно (Икс, у) и асимптотически устойчива относительноИкс. Если решение (Икс(т), у(т)) достаточно близко к решению Икс = 0, у = 0, то

${ displaystyle lim _ {t to infty} x (t) = 0, quad lim _ {t to infty} y (t) = c.}$

Пример

Рассмотрим векторное поле, заданное формулой

${ displaystyle { dot {x}} = - x + x ^ {2} y, quad { dot {y}} = xy ^ {2}}$

В этом случае, А = -1 и Икс(0, у) = Y(0, у) = 0 для всех у, поэтому эта система удовлетворяет гипотезе теоремы Ляпунова-Малкина.

На рисунке ниже показан график этого векторного поля вместе с некоторыми траекториями, проходящими вблизи точки (0,0). Как и следовало ожидать по теореме, видно, что траектории в окрестности (0,0) сходятся к точке вида (0,c).

Рекомендации