Функция МакРоберта E - MacRobert E function

В математике E-функция был представлен Томас Мюррей МакРоберт  (1937–1938 ) продлить обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q(·) К делу п > q + 1. Основная цель заключалась в том, чтобы определить очень общую функцию, которая включает в качестве частных случаев большинство специальные функции известно до тех пор. Однако эта функция не оказала большого влияния на литературу, поскольку ее всегда можно выразить в терминах G-функция Мейера, в то время как обратное неверно, так что G-функция носит еще более общий характер. Это определяется как:

${displaystyle E (p; alpha _ {r}; ho _ {s}; z) Equiv {frac {Gamma (alpha _ {q + 1})} {prod _ {k = 1} ^ {q} Gamma (ho _ {k} -alpha _ {k})}} prod _ {mu = 1} ^ {q} int _ {0} ^ {infty} lambda _ {mu} ^ {ho _ {mu} -alpha _ {mu } -a} (lambda _ {mu} +1) ^ {- ho _ {mu}} dlambda _ {mu} prod _ {u = 2} ^ {pq-1} int _ {0} ^ {infty} лямбда _ {q + u} ^ {alpha _ {q + u} -1} exp (-lambda _ {q + u}) dlambda _ {q + u} int _ {0} ^ {infty} lambda _ {p} ^ {alpha _ {p} -1} exp (-lambda _ {p}) left [{frac {prod _ {k = q + 2} ^ {p} lambda _ {k}} {zprod _ {k = 1] } ^ {q} лямбда _ {k} +1}} + 1ight] лямбда _ {p}}$

Определение

Есть несколько способов определить E-функцию МакРоберта; следующее определение дано в терминах обобщенная гипергеометрическая функция:

• когда п ≤ q и Икс ≠ 0, или п = q + 1 и |Икс| > 1:

${displaystyle E! left (left. {egin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}}; ight |, xight) = {frac {prod _ {j = 1}) ^ {p} Гамма (a_ {j})} {prod _ {j = 1} ^ {q} Гамма (b_ {j})}}; _ {p} F_ {q}! left (left. {egin { матрица} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}}; ight |, -x ^ {- 1} ight)}$

• когда п ≥ q + 2, или п = q + 1 и |Икс| < 1:

${displaystyle E! left (left. {egin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}}; ight |, xight) = sum _ {h = 1} ^ {p } {frac {prod _ {j = 1} ^ {p} Гамма (a_ {j} -a_ {h}) ^ {*}} {prod _ {j = 1} ^ {q} Гамма (b_ {j} -a_ {h})}} Гамма (a_ {h}); x ^ {a_ {h}}; _ {q + 1} F_ {p-1}! left (left. {egin {matrix} a_ {h) }, 1 + a_ {h} -b_ {1}, точки, 1 + a_ {h} -b_ {q} 1 + a_ {h} -a_ {1}, точки, *, точки, 1 + a_ { h} -a_ {p} end {matrix}}; ight |, (- 1) ^ {pq}; xight).}$

Звездочки здесь напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = час следующим образом: в произведении это означает замену Γ (0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции - сокращение длины вектора от п к п - 1. Очевидно, это определение охватывает все значения п и q.

Связь с G-функцией Мейера

E-функцию МакРоберта всегда можно выразить через G-функция Мейера:

${displaystyle E! left (left. {egin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}}; ight |, xight) = G_ {q + 1`` p} ^ {, p ,, 1}! left (left. {egin {matrix} 1, mathbf {b_ {q}} mathbf {a_ {p}} end {matrix}}; ight |, xight)}$

где значения параметров не ограничены, т.е. это соотношение выполняется без исключения.

Рекомендации

• Эндрюс, Л. С. (1985). Специальные функции для инженеров и прикладных математиков. Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN  0-02-948650-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Эрдейи, А.; Magnus, W .; Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф. Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF). Vol. 1. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл.CS1 maint: ref = harv (связь) (см. п. 5.2, «Определение E-функции», стр. 203)
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.4.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Мак-Роберт, Т. (1937–38). «Индукционные доказательства связи некоторых асимптотических разложений и соответствующих обобщенных гипергеометрических рядов». Proc. Рой. Soc. Эдинбург. 58: 1–13. JFM  64.0337.01.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Мак-Роберт, Т. М. (1962). «Интегралы Барнса как сумма E-функций». Mathematische Annalen. 147 (3): 240–243. Дои:10.1007 / bf01470741. S2CID  121048026. Zbl  0100.28601.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Электронная функция МакРоберта". MathWorld.