Магический угол - Magic angle

В магический угол - точно определенный угол, значение которого составляет приблизительно 54,7356 °. Магический угол - это корень второго порядка Полином Лежандра, п₂(потому что θ) = 0, и поэтому любое взаимодействие, зависящее от этого полинома Лежандра второго порядка, обращается в нуль под магическим углом. Это свойство делает магический угол особенно важным в вращение под магическим углом твердотельный ЯМР спектроскопия. В магнитно-резонансная томография, конструкции с упорядоченными коллаген, Такие как сухожилия и связки, ориентированные под магическим углом, в некоторых последовательностях могут казаться гиперинтенсивными; это называется артефактом или эффектом магического угла.

Математическое определение

Магический угол

Магический угол θ_м является

${ displaystyle theta _ { mathrm {m}} = arccos { frac {1} { sqrt {3}}} = arctan { sqrt {2}} приблизительно 0,955 , 32 { text {рад}} приблизительно 54,7 ^ { circ} !,}$

где arccos и arctan - функции обратного косинуса и тангенса соответственно.OEIS: A195696

θ_м - угол между пространственной диагональю куба и любым из трех его соединяющих ребер, см. изображение.

Другое представление магического угла - это половина угла раскрытия, образованного при повороте куба относительно его пространственной диагональной оси, которая может быть представлена ​​как arccos -1/3 или 2 арктана√2 радианы ≈ 109,4712 °. Этот двойной магический угол напрямую связан с тетраэдрическая молекулярная геометрия и - угол между двумя вершинами и точным центром тетраэдр (т.е., центральный угол кромки, также известный как четырехгранный угол).

Магический угол и ядерный магнитный резонанс

Эффект магического угла на МРТ плеча

В ядерный магнитный резонанс (ЯМР) спектроскопия, три основных ядерных магнитных взаимодействия, диполярная связь, анизотропия химического сдвига (CSA), и квадрупольная связь первого порядка, зависят от ориентации тензора взаимодействия с внешним магнитным полем.

При вращении образца вокруг заданной оси их средняя угловая зависимость становится:

${ displaystyle left langle 3 cos ^ {2} theta -1 right rangle = left (3 cos ^ {2} theta _ { mathrm {r}} -1 right) left (3 cos ^ {2} beta -1 right) !,}$

куда θ - угол между главной осью взаимодействия и магнитным полем, θ_р - угол оси вращения относительно магнитного поля, а β - (произвольный) угол между осью вращения и главной осью взаимодействия.

Для дипольных взаимодействий главная ось соответствует межъядерному вектору между связанными спинами; для CSA - направление с наибольшим снятием экранирования; для квадрупольной связи это соответствует z- ось тензора градиента электрического поля.

Угол β нельзя манипулировать, так как это зависит от ориентации взаимодействия относительно молекулярного каркаса и от ориентации молекулы относительно внешнего поля. Угол θ_рОднако это может решить экспериментатор. Если установить θ_р = θ_м ≈ 54,7 °, то средняя угловая зависимость обращается в ноль. Волшебный угол вращения это техника в твердотельный ЯМР спектроскопия, которая использует этот принцип для устранения или уменьшения влияния анизотропных взаимодействий, тем самым увеличивая спектральное разрешение.

Для не зависящего от времени взаимодействия, то есть гетероядерных диполярных связей, CSA и квадрупольных взаимодействий первого порядка, анизотропная составляющая значительно уменьшается и почти подавляется в пределе быстрого вращения, то есть когда частота вращения больше ширины взаимодействия.

Усреднение близко к нулю только в первом порядке. теория возмущений лечение; Члены более высокого порядка вызывают появление разрешенных частот, кратных частоте вращения, создавая вращающиеся боковые полосы в спектрах.

Зависящие от времени взаимодействия, такие как гомоядерные диполярные связи, труднее усреднить до их изотропных значений вращением под магическим углом; сеть сильно связанных спинов будет производить смешивание спиновых состояний в процессе вращения образца, мешая процессу усреднения.

Применение в медицинской визуализации: артефакт магического угла

Артефакт магического угла относится к усиленному сигналу, наблюдаемому при Последовательности МРТ с коротким временем эха (TE) (например, Т₁ или последовательности спин-эхо протонной плотности) используются для изображения тканей с хорошо упорядоченными коллаген волокна в одном направлении (например, сухожилие или гиалиновый хрящ сустава).^[1] Этот артефакт возникает, когда угол между такими волокнами и магнитным полем равен θ_м.

Пример: этот артефакт используется при оценке вращающая манжета сухожилия плеча. Эффект магического угла может создать вид тендинит надостной мышцы.

Армированная резина

Для достижения оптимальной нагрузки в прямой резине шланг волокна должны быть расположены под углом приблизительно 54,7 угловых градуса, также называемым магическим углом. Магический угол 54,7 точно уравновешивает продольное напряжение, вызванное внутренним давлением, и кольцевое (окружное) напряжение.

Рекомендации