Неравенство Малера - Википедия - Mahlers inequality

В математика, Неравенство Малера, названный в честь Курт Малер, заявляет, что среднее геометрическое почленной суммы двух конечных последовательностей положительных чисел больше или равно сумме их двух отдельных геометрических средних:

${ Displaystyle prod _ {к = 1} ^ {n} (x_ {k} + y_ {k}) ^ {1 / n} geq prod _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {1 / n} + prod _ {k = 1} ^ {n} y_ {k} ^ {1 / n}}$

когда Икс_k, у_k > 0 для всех k.

Доказательство

Посредством неравенство средних арифметических и геометрических, у нас есть:

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} left ({x_ {k} over x_ {k} + y_ {k}} right) ^ {1 / n} leq {1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} {x_ {k} over x_ {k} + y_ {k}},}$

и

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} left ({y_ {k} over x_ {k} + y_ {k}} right) ^ {1 / n} leq {1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} {y_ {k} over x_ {k} + y_ {k}}.}$

Следовательно,

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} left ({x_ {k} over x_ {k} + y_ {k}} right) ^ {1 / n} + prod _ {k = 1} ^ {n} left ({y_ {k} over x_ {k} + y_ {k}} right) ^ {1 / n} leq {1 over n} n = 1.}$

Расчетные знаменатели затем дает желаемый результат.

Смотрите также

• Неравенство Минковского

Рекомендации

• http://eom.springer.de/M/m064060.htm

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.