Время перемешивания цепи Маркова - Википедия - Markov chain mixing time

В теория вероятности, то время смешивания из Цепь Маркова это время, пока цепь Маркова не «приблизится» к своей устойчивое состояние распределение.

Точнее, фундаментальный результат о Цепи Маркова состоит в том, что неприводимая апериодическая цепь в конечном состоянии имеет единственное стационарное распределение π и, независимо от начального состояния, времят распределение цепочки сходится к π в качестве т стремится к бесконечности. Время смешивания относится к любому из нескольких вариантов формализации идеи: насколько велика должна т быть до временит распределение примерно π ? Один вариант, время изменения расстояния смешивания, определяется как наименьшее т так что полное расстояние вариации вероятностных мер маленький:

${ displaystyle | Pr (X_ {t} in A) - pi (A) | leq 1/4}$

для всех подмножеств ${ displaystyle A}$ состояний и всех начальных состояний. В этом смысле Дэйв Байер и Перси Диаконис  (1992 ) доказали, что количество ружейных тасует Для смешивания обычной колоды из 52 карт требуется 7. Математическая теория фокусируется на том, как время смешивания изменяется в зависимости от размера структуры, лежащей в основе цепочки. Для ${ displaystyle n}$-карточная колода, количество необходимых перетасовок растет по мере ${ displaystyle 1.5 log _ {2} n}$. Наиболее развитая теория касается рандомизированные алгоритмы за # P-Complete алгоритмические проблемы подсчета, такие как количество раскраски графиков данного ${ displaystyle n}$ граф вершин. На такие проблемы для достаточно большого количества цветов можно ответить, используя Цепь Маркова Монте-Карло метод и показывающий, что время перемешивания растет только при ${ Displaystyle п журнал (п)}$ (Джеррам 1995 ). Этот пример и пример перетасовки обладают быстрое перемешивание свойство, что время перемешивания растет не более чем полиномиально быстро за ${ displaystyle log}$(количество состояний цепочки). Инструменты для доказательства быстрого перемешивания включают аргументы, основанные на проводимость и метод связь. В более широком использовании цепи Маркова Метод Монте-Карло строгое обоснование результатов моделирования потребовало бы теоретического ограничения времени перемешивания, и многие интересные практические случаи сопротивлялись такому теоретическому анализу.

Смотрите также

• Смешивание (математика) для формального определения смешения

Рекомендации

• Олдос, Дэвид; Заполните, Джим, Обратимые цепи Маркова и случайные блуждания на графах, заархивировано из оригинал на 2004-09-21.
• Байер, Дэйв; Диаконис, Перси (1992), "Тащу шаркающего ласточкиного хвоста к его логову" (PDF), Анналы прикладной теории вероятностей, 2 (2): 294–313, Дои:10.1214 / aoap / 1177005705, JSTOR  2959752, МИСТЕР  1161056.
• Джеррам, Марк (1995), «Очень простой алгоритм для оценки количества k-раскраски графа низкой степени », Случайные структуры и алгоритмы, 7 (2): 157–165, Дои:10.1002 / RSA.3240070205, МИСТЕР  1369061.
• Левин, Дэвид А .; Перес, Юваль; Уилмер, Элизабет Л. (2009), Цепи Маркова и времена перемешивания, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4739-8, МИСТЕР  2466937.
• Синклер, Алистер (1993), Алгоритмы для случайной генерации и подсчета: подход цепей Маркова, Прогресс в теоретической информатике, Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, Дои:10.1007/978-1-4612-0323-0, ISBN  0-8176-3658-7, МИСТЕР  1201590.