Теорема Марсалья - Википедия - Marsaglias theorem

В вычислительная теория чисел, Теорема Марсальи соединяет модульная арифметика и аналитическая геометрия описать недостатки псевдослучайные числа в результате линейный конгруэнтный генератор. Как прямое следствие, сейчас широко считается, что линейные конгруэнтные генераторы являются слабыми для целей генерации случайных чисел. В частности, нецелесообразно использовать их для моделирования с Метод Монте-Карло или в криптографических настройках, таких как выдача сертификат открытого ключа, если не выполняются конкретные количественные требования. Плохо выбранные значения модуля и множителя в Генератор случайных чисел Лемера приведет к короткому периоду для последовательности случайных чисел. Результат Марсальи может быть расширен до смешанного линейного конгруэнтного генератора. ^[1]

Основное заявление

Рассмотрим Генератор случайных чисел Лемера с

${ Displaystyle г_ {я + 1} экв кр_ {я} мод м}$

для любого модуля ${ displaystyle m}$ и множитель ${ displaystyle k}$ где каждый ${ displaystyle 0$, и определим последовательность

${ displaystyle u_ {1} = { frac {r_ {1}} {m}}, u_ {2} = { frac {r_ {2}} {m}}, u_ {3} = { frac { r_ {3}} {m}}, ldots}$

Определите точки

${ displaystyle pi _ {1} = (u_ {1}, ldots, u_ {n}), pi _ {2} = (u_ {2}, ldots, u_ {n + 1}), pi _ {3} = (u_ {3}, ldots, u_ {n + 2}), ldots}$

на единицу ${ displaystyle n}$-куб, образованный из следующих друг за другом членов последовательности ${ displaystyle u}$. С таким генератором мультипликативных чисел все ${ displaystyle n}$-наборы результирующих случайных чисел лежат не более чем в ${ Displaystyle (п! м) ^ {1 / п}}$ гиперплоскости. Дополнительно для выбора констант ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ldots, c_ {n}}$ которые удовлетворяют сравнению

${ displaystyle c_ {1} + c_ {2} k + c_ {3} k ^ {2} + cdots + c_ {n} k ^ {n-1} Equiv 0 mod m,}$

есть самое большее ${ displaystyle | c_ {1} | + | c_ {2} | + cdots + | c_ {n} |}$ параллельные гиперплоскости, содержащие все ${ displaystyle n}$-вырабатываемые генератором пары. Доказательства этих утверждений можно найти в оригинальной статье Марсальи. ^[2]

Рекомендации