Неравенство Машреги – Рэнсфорда - Mashreghi–Ransford inequality

В Математика, то Неравенство Машреги – Рэнсфорда ограничивает скорость роста некоторых последовательности. Он назван в честь Дж. Машреги и Т. Рэнсфорд.

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 0}}$ быть последовательностью сложные числа, и разреши

${ displaystyle b_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} a_ {k}, qquad (n geq 0),}$

и

${ displaystyle c_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n choose k} a_ {k}, qquad (n geq 0).}$

Напоминаем, что биномиальные коэффициенты определены

${ displaystyle {n choose k} = { frac {n!} {k! (n-k)!}}.}$

Предположим, что для некоторых ${ displaystyle beta> 1}$, у нас есть ${ displaystyle b_ {n} = O ( beta ^ {n})}$ и ${ Displaystyle c_ {п} = О ( бета ^ {п})}$ в качестве ${ displaystyle n to infty}$. потом

${ Displaystyle а_ {п} = О ( альфа ^ {п})}$, так как ${ displaystyle n to infty}$,

куда ${ displaystyle alpha = { sqrt { beta ^ {2} -1}}.}$

Более того, есть универсальная постоянная ${ displaystyle kappa}$ такой, что

${ displaystyle left ( limsup _ {n to infty} { frac {| a_ {n} |} { alpha ^ {n}}} right) leq kappa , left ( limsup _ {n to infty} { frac {| b_ {n} |} { beta ^ {n}}} right) ^ { frac {1} {2}} left ( limsup _ {n to infty} { frac {| c_ {n} |} { beta ^ {n}}} right) ^ { frac {1} {2}}.}$

Точное значение ${ displaystyle kappa}$ неизвестно. Однако известно, что

${ displaystyle { frac {2} { sqrt {3}}} leq kappa leq 2.}$

Рекомендации

• Mashreghi, J .; Рэнсфорд, Т. (2005). «Биномиальные суммы и функции экспоненциального типа». Бык. Лондонская математика. Soc. 37 (01): 15–24..