Многочлены Мейкснера – Поллачека - Meixner–Pollaczek polynomials

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Многочлены Мейкснера – Поллачека»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике Многочлены Мейкснера – Поллачека семья ортогональные многочлены п^(λ)
_п(Икс, φ), введенные Meixner  (1934 ), которые с точностью до элементарных замен переменных совпадают с Полиномы Поллачека п^λ
_п(Икс,а,б) заново открыт Поллачек  (1949 ) в случае λ = 1/2, а затем обобщенное им.

Они определены

${ displaystyle P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = { frac {(2 lambda) _ {n}} {n!}} e ^ {in phi} {} _ {2} F_ {1} left ({ begin {array} {c} -n, ~ lambda + ix 2 lambda end {array}}; 1-e ^ {- 2i phi} верно)}$

${ displaystyle P_ {n} ^ { lambda} ( cos phi; a, b) = { frac {(2 lambda) _ {n}} {n!}} e ^ {in phi} { } _ {2} F_ {1} left ({ begin {array} {c} -n, ~ lambda + i (a cos phi + b) / sin phi 2 lambda end {массив}}; 1-e ^ {- 2i phi} right)}$

Примеры

Первые несколько полиномов Мейкснера – Поллачека:

${ Displaystyle P_ {0} ^ {( lambda)} (х; phi) = 1}$

${ Displaystyle P_ {1} ^ {( лямбда)} (х; фи) = 2 ( лямбда соз фи + х грех фи)}$

${ Displaystyle P_ {2} ^ {( lambda)} (x; phi) = x ^ {2} + lambda ^ {2} + ( lambda ^ {2} + lambda -x ^ {2} ) cos (2 phi) + (1 + 2 lambda) x sin (2 phi).}$

Характеристики

Ортогональность

Многочлены Мейкснера – Поллачека. п_м^(λ)(Икс; φ) ортогональны на прямой относительно весовой функции

${ Displaystyle ш (х; лямбда, фи) = | гамма ( лямбда + ix) | ^ {2} е ^ {(2 фи - пи) х}}$

а отношение ортогональности определяется выражением^[1]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) P_ {m} ^ {( lambda)} (x; phi) w (x; lambda, phi) dx = { frac {2 pi Gamma (n + 2 lambda)} {(2 sin phi) ^ {2 lambda} n!}} delta _ {mn}, quad lambda> 0, quad 0 < phi < pi.}$

Отношение рецидива

Последовательность полиномов Мейкснера – Поллачека удовлетворяет рекуррентному соотношению^[2]

${ Displaystyle (п + 1) п_ {п + 1} ^ {( лямбда)} (х; фи) = 2 { bigl (} х грех фи + (п + лямбда) соз фи { bigr)} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) - (n + 2 lambda -1) P_ {n-1} (x; phi).}$

Формула Родригеса

Многочлены Мейкснера – Поллачека задаются формулой, подобной Родригесу^[3]

${ displaystyle P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = { frac {(-1) ^ {n}} {n! , w (x; lambda, phi)} } { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} w left (x; lambda + { tfrac {1} {2}} n, phi right),}$

куда ш(Икс; λ, φ) - указанная выше весовая функция.

Производящая функция

Полиномы Мейкснера – Поллачека имеют производящую функцию^[4]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = (1-e ^ {i phi} t ) ^ {- lambda + ix} (1-e ^ {- i phi} t) ^ {- lambda -ix}.}$

Смотрите также

• Просеянные полиномы Поллачека

Рекомендации

• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Сварттоу, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, МИСТЕР  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Полиномы Поллачека», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Meixner, J. (1934), "Orthogonale Polynomsysteme Mit Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion", J. London Math. Soc., s1-9: 6–13, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.1.6
• Поллачек, Феликс (1949), "Sur une généralisation des polynomes de Legendre", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 228: 1363–1365, МИСТЕР  0030037