Карта Милнора - Milnor map

В математике Карты Милнора названы в честь Джон Милнор, который познакомил их с топология и алгебраическая геометрия в его книге Особые точки сложных гиперповерхностей. (Princeton University Press, 1968) и более ранние лекции. Наиболее изученные карты Милнора на самом деле расслоения, а фраза Расслоение Милнора чаще встречается в математической литературе. Они были введены для изучения изолированных особенностей путем построения численных инварианты связанных с топологией гладкого деформация особого пространства.

Определение

Позволять ${ displaystyle f (z_ {0}, dots, z_ {n})}$ быть непостоянным полиномиальная функция из ${ displaystyle n + 1}$ комплексные переменные ${ displaystyle z_ {0}, dots, z_ {n}}$ где исчезающее место

{ displaystyle f (z) { text {and}} { frac { partial f} { partial z_ {i}}} (z)}

находится только в начале координат, что означает связанный разнообразие ${ Displaystyle X = V (е)}$ не является гладкий в происхождении. Тогда для ${ displaystyle K = X cap S _ { varepsilon} ^ {2n + 1}}$ (сфера внутри ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {п + 1}}$ радиуса ${ displaystyle varepsilon> 0}$ ) Расслоение Милнора^[1]^стр.68 связано с ${ displaystyle f}$ определяется как карта

{ Displaystyle phi двоеточие (S _ { varepsilon} ^ {2n + 1} setminus K) to S ^ {1} { text {отправка}} x mapsto { frac {f (x) } {| f (x) |}}}

,

что является локально тривиальным гладкий расслоение для достаточно малых ${ displaystyle varepsilon}$ . Первоначально это было доказано как теорема Милнора, но позже было принято в качестве определения расслоения Милнора. Обратите внимание, что это хорошо определенная карта, поскольку

{ Displaystyle е (х) = | е (х) | cdot е ^ {2 пи я имя оператора {Arg} (е (х))}}

,

куда ${ displaystyle operatorname {Arg} (f (x))}$ это аргумент комплексного числа.

Историческая мотивация

Одним из первоначальных мотивов изучения таких карт было изучение узлы построенный путем взятия ${ displaystyle varepsilon}$ -шар вокруг особой точки плоская кривая, который изоморфен реальному 4-мерному шару, и глядя на узел внутри границы, который является 1-многообразие внутри 3-сфера. Поскольку эту концепцию можно обобщить на гиперповерхности с изолированными особенностями, Милнор ввел предмет и доказал свою теорему.

В алгебраической геометрии

Еще одно закрытое родственное понятие в алгебраическая геометрия является слоем Милнора изолированной особенности гиперповерхности. У этого есть аналогичная установка, где многочлен ${ displaystyle f}$ с ${ displaystyle f = 0}$ с особенностью в начале координат, но теперь многочлен

{ displaystyle f_ {t} двоеточие mathbb {C} ^ {n + 1} times mathbb {C} to mathbb {C} { text {отправка}} (z_ {0}, ldots, z_ {n}) mapsto f (z_ {0}, ldots, z_ {n}) - t}

Считается. Затем алгебраический слой Милнора рассматривается как один из многочленов ${ displaystyle f_ {т neq 0}}$ .

Свойства и теоремы

Возможность распараллеливания

Одна из основных структурных теорем о слоях Милнора состоит в том, что они параллелизуемые многообразия^[1]^стр.75.

Гомотопический тип

Волокна Милнора особенные, потому что они гомотопический тип из букет сфер^[1]^стр.78. Фактически, количество сфер можно вычислить по формуле

{ displaystyle mu (f) = { text {dim}} _ { mathbb {C}} { frac { mathbb {C} [z_ {0}, ldots, z_ {n}]} { имя оператора {Jac} (f)}},}

где фактор-идеал - это Якобианский идеал, определяемые частными производными ${ displaystyle partial f / partial z_ {i}}$ . Эти сферы, деформированные до алгебраического слоя Милнора, являются Исчезающие циклы расслоения^[1]^{стр. 83}. К сожалению, вычисление собственных значений их монодромии является вычислительно сложной задачей и требует передовых методов, таких как b-функции^[2]^стр.23.

Теорема Милнора о расслоении

Теорема Милнора о расслоении утверждает, что для каждого ${ displaystyle f}$ такой, что начало координат особая точка гиперповерхности ${ displaystyle V_ {f}}$ (в частности, для любого непостоянного многочлен без квадратов ${ displaystyle f}$ двух переменных, случай плоских кривых), то для ${ displaystyle epsilon}$ достаточно маленький,

{ displaystyle { dfrac {f} {| f |}} двоеточие left (S _ { varepsilon} ^ {2n + 1} setminus V_ {f} right) to S ^ {1}}

является расслоением. Каждое волокно является некомпактным дифференцируемое многообразие реального измерения ${ displaystyle 2n}$ . Обратите внимание, что замыкание каждого волокна представляет собой компактный многообразие с границей. Здесь граница соответствует пересечению ${ displaystyle V_ {f}}$ с ${ Displaystyle (2n + 1)}$ -сфера (достаточно малого радиуса) и, следовательно, это реальное многообразие размерности ${ displaystyle (2n-1)}$ . Более того, это компактное многообразие с краем, известное как Волокно Милнора (изолированной особой точки ${ displaystyle V_ {f}}$ в начале координат), диффеоморфно пересечению замкнутых ${ Displaystyle (2n + 2)}$ -бол (ограниченный малым ${ displaystyle (2n + 1)}$ -сфера) с (неособой) гиперповерхностью ${ displaystyle V_ {g}}$ куда ${ displaystyle g = f-e}$ и ${ displaystyle e}$ - любое достаточно малое ненулевое комплексное число. Этот небольшой кусок гиперповерхности также называют Волокно Милнора.

Карты Милнора на других радиусах не всегда являются расслоениями, но они все же обладают многими интересными свойствами. Для большинства (но не всех) полиномов Карта Милнора на бесконечности (то есть на любом достаточно большом радиусе) снова является расслоением.

Примеры

Карта Милнора ${ displaystyle f (z, w) = z ^ {2} + w ^ {3}}$ на любом радиусе есть расслоение; эта конструкция дает трилистник его структура как волокнистый узел.