Отражающая функция Мироненко - Википедия - Mironenko reflecting function

В прикладной математике отражающая функция ${ Displaystyle , F (т, х)}$ из дифференциальная система ${ Displaystyle { точка {х}} = Х (т, х)}$ связывает прошлое состояние ${ Displaystyle , х (-t)}$ системы с будущим состоянием ${ Displaystyle , х (т)}$ системы по формуле ${ Displaystyle , х (-t) = F (t, x (t)).}$ Понятие отражающей функции было введено Владимир Иванович Мироненко.

Определение

Для дифференциальная система ${ Displaystyle { точка {х}} = Х (т, х)}$ с общее решение ${ Displaystyle varphi (т; т_ {0}, х)}$ в Коши форме отражающая функция системы определяется формулой ${ Displaystyle F (t, x) = varphi (-t; t, x).}$

заявка

Если вектор-функция ${ Displaystyle Х (т, х)}$ является ${ displaystyle , 2 omega}$-периодический по ${ Displaystyle , т}$, тогда ${ Displaystyle , F (- omega, x)}$ в период ${ displaystyle , [- omega; omega]}$ преобразование (Карта Пуанкаре ) дифференциальной системы ${ displaystyle { dot {x}} = X (t, x).}$ Поэтому знание Отражающей функции дает нам возможность узнать начальные даты ${ displaystyle , ( omega, x_ {0})}$ из периодические решения дифференциальной системы ${ Displaystyle { точка {х}} = Х (т, х)}$ и исследовать стабильность этих решений.

Для отражающей функции ${ Displaystyle , F (т, х)}$ системы ${ Displaystyle { точка {х}} = Х (т, х)}$ основное отношение

${ displaystyle , F_ {t} + F_ {x} X + X (-t, F) = 0, qquad F (0, x) = x.}$

держит.

Поэтому иногда у нас есть возможность найти отображение Пуанкаре неинтегрируемого в квадратура системы даже в элементарные функции.

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Минск, Университетское, 1986. - 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. - 196 с.

внешние ссылки

• Сайт отражающей функции
• Как построить эквивалентные дифференциальные системы