Разложение многомерных эмпирических мод - Multidimensional empirical mode decomposition

В обработка сигнала, то многомерное разложение по эмпирическим модам (многомерный EMD) является продолжением 1-D EMD алгоритм в многомерный сигнал. В Разложение по эмпирическим модам Гильберта – Хуанга (EMD) процесс разбивает сигнал на функции внутреннего режима в сочетании с Гильбертовый спектральный анализ известный как Преобразование Гильберта – Хуанга (HHT). Многомерный EMD расширяет 1-D EMD алгоритм в многомерные сигналы. Это разложение можно применить к обработка изображений, обработка аудиосигнала и различные другие многомерные сигналы.

Мотивация

Разложение по многомерным эмпирическим модам является популярным методом из-за его приложений во многих областях, таких как анализ текстур, финансовые приложения, обработка изображений, океанотехника, сейсмические исследования и так далее. В последнее время для анализа характеристик многомерных сигналов использовалось несколько методов разложения по эмпирическим модам. В этой статье мы познакомимся с основами многомерной эмпирической модовой декомпозиции, а затем рассмотрим различные подходы, используемые для многомерной эмпирической модовой декомпозиции.

Введение в разложение по эмпирическим модам (EMD)

Блок-схема основного алгоритма EMD^{[1][хищный издатель ]}

Метод «разложения по эмпирическим модам» позволяет извлекать глобальную структуру и работать с фрактальными сигналами.

Метод EMD был разработан таким образом, чтобы данные можно было исследовать в адаптивном пространстве время-частота-амплитуда для нелинейных и нестационарных сигналов.

Метод EMD разделяет входной сигнал на несколько функций внутреннего режима (IMF) и остаток. Данное уравнение будет следующим:

${ displaystyle I (n) = sum _ {m = 1} ^ {M} operatorname {IMF} _ {m} (n) + operatorname {Res} _ {M} (n)}$

где ${ Displaystyle I (п)}$ многокомпонентный сигнал. ${ displaystyle operatorname {IMF} _ {m} (n)}$ это ${ displaystyle M ^ { text {th}}}$ функция внутреннего режима, и ${ displaystyle operatorname {Res} _ {M} (n)}$ представляет собой остаток, соответствующий ${ displaystyle M}$ внутренние режимы.

Разложение по ансамблю на эмпирические моды

Чтобы повысить точность измерений, среднее значение по ансамблю является мощным подходом, когда данные собираются путем отдельных наблюдений, каждое из которых содержит различный шум по ансамблю вселенной. Чтобы обобщить эту идею ансамбля, шум вводится в единый набор данных, x (t), как если бы отдельные наблюдения действительно проводились как аналог физического эксперимента, который можно повторять много раз. Добавленный белый шум рассматривается как возможный случайный шум, который может возникнуть в процессе измерения. В таких условиях i-е «искусственное» наблюдение будет ${ Displaystyle х_ {я} (т) = х (т) + w_ {я} (т)}$

В случае только одного наблюдения, один из ансамблей множественных наблюдений имитируется путем добавления не произвольных, а разных копий белого шума, wi (t), к этому единственному наблюдению, как указано в уравнении. Хотя добавление шума может привести к уменьшению отношения сигнал / шум, добавленный белый шум обеспечит равномерное распределение эталонной шкалы для облегчения EMD; следовательно, низкое отношение сигнал / шум не влияет на метод разложения, а фактически улучшает его, чтобы избежать смешения мод. Основываясь на этом аргументе, делается дополнительный шаг, утверждающий, что добавление белого шума может помочь извлечь истинные сигналы в данных, метод, который называется ансамблевым эмпирическим разложением мод (EEMD).

EEMD состоит из следующих шагов:

1. Добавление серии белого шума к исходным данным.
2. Разложение данных с добавлением белого шума на колебательные составляющие.
3. Повторение шагов 1 и 2 снова и снова, но каждый раз с добавлением разных серий белого шума.
4. Получение (ансамбля) средних соответствующих функций внутренней моды разложения в качестве окончательного результата.

На этих этапах EEMD использует два свойства белого шума:

1. Добавленный белый шум приводит к относительно равномерному распределению экстремумов по всем временным шкалам.
2. Свойство банка диадических фильтров обеспечивает управление периодами колебаний, содержащихся в колебательном компоненте, значительно снижая вероятность масштабного смешения в компоненте. Добавленный шум усредняется путем усреднения по ансамблю.^[2]

Псевдодвумерное разложение по эмпирическим модам^[3]

Здесь следует указать, что метод «псевдо-BEMD» не ограничивается только одним пространственным измерением; скорее, его можно применить к данным любого количества пространственно-временных измерений. Поскольку пространственная структура по существу определяется временными масштабами изменчивости физической величины в каждом месте, а разложение полностью основано на характеристиках отдельных временных рядов в каждом пространственном местоположении, нет никаких предположений о пространственных когерентных структурах этой физической величины. Когда возникает связная пространственная структура, она лучше отражает физические процессы, которые управляют эволюцией физической величины в масштабе времени каждого компонента. Таким образом, мы ожидаем, что этот метод найдет важные применения в пространственно-временном анализе данных.

Ключевым этапом разработки алгоритма псевдо-BEMD является преобразование алгоритма 1D EMD в двумерную эмпирическую модовую декомпозицию (BEMD) и дополнительно расширить алгоритм до трех или более измерений, аналогичных BEMD, путем расширения процедуры на последовательные измерения. Для куба трехмерных данных из i × j × k элементов псевдо -BEMD даст подробные трехмерные компоненты m × n × q, где m, n и q - количество IMF, разложенных из каждого измерения, имеющего i, j и k элементов, соответственно.

Математически представим двумерный сигнал в виде матрицы ixj с конечным числом элементов.

${ Displaystyle X (я, j) ​​= { begin {bmatrix} x (1,1) & x (1,2) & cdots & x (1, j) x (2,1) & x (2,2 ) & cdots & x (1, j) vdots & vdots && vdots x (i, 1) & x (i, 2) & cdots & x (i, j) end {bmatrix}}}$^[3]

Сначала выполняем EMD в одном направлении Икс(я,j), Например, по строкам, чтобы разложить данные каждой строки на m компонентов, затем собрать компоненты одного и того же уровня m из результата разложения каждой строки, чтобы создать 2D-разложенный сигнал на этом уровне m. Таким образом, получается m наборов двумерных пространственных данных.

${ displaystyle { begin {align} RX (1, ​​i, j) & = { begin {bmatrix} x (1,1,1) & x (1,1,2) & cdots & x (1,1, j) x (1,2,1) & x (1,2,2) & cdots & x (1,2, j) vdots & vdots && vdots x (1, i, 1 ) & x (1, i, 2) & cdots & x (1, i, j) end {bmatrix}} [6pt] RX (2, i, j) & = { begin {bmatrix} x (2 , 1,1) & x (2,1,2) & cdots & x (2,1, j) x (2,2,1) & x (2,2,2) & cdots & x (2,2 , j) vdots & vdots && vdots x (2, i, 1) & x (2, i, 2) & cdots & x (2, i, j) end {bmatrix}} vdots qquad & , , , vdots qquad vdots [6pt] RX (m, i, j) & = { begin {bmatrix} x (m, 1,1) & x (m, 1,2) & cdots & x (m, 1, j) x (m, 2,1) & x (m, 2,2) & cdots & x (m, 2, j) vdots & vdots && vdots x (m, i, 1) & x (m, i, 2) & cdots & x (m, i, j) end {bmatrix}} end {выравнивается}}}$^[3]

где RX (1, ​​i, j), RX (2, i, j) и RX (m, i, j) - м наборы сигналов, как указано (также здесь мы используем р для обозначения декомпозиции строки). Связь между этими m 2D-разложенными сигналами и исходным сигналом задается как ${ Displaystyle X (я, j) ​​= сумма _ {к mathop {=} 1} ^ {m} RX (k, i, j)}$ ^[3]

Первая строка матрицы RX (m, i, j) - это m-й компонент EMD, разложенный из первой строки матрицы X (i, j). Вторая строка матрицы RX (m, i, j) - это m-я компонента EMD, разложенная из второй строки матрицы X (i, j), и так далее.

Предположим, что предыдущее разложение выполнено в горизонтальном направлении, следующим шагом является разложение каждого из ранее разложенных по строкам компонентов RX (m, i, j) в вертикальном направлении на n компонентов. Этот шаг будет генерировать n компонентов из каждого компонента RX.

Например, компонент

1. RX (1, ​​i, j) будет разложен на CRX (1,1, i, j), CRX (1,2, i, j),…, CRX (1, ​​n, i, j)
2. RX (2, i, j) будет разложен на CRX (2,1, i, j), CRX (2,2, i, j),…, CRX (2, n, i, j)
3. RX (m, i, j) будет разложен на CRX (m, 1, i, j), CRX (m, 2, i, j),…, CRX (m, n, i, j)

где C означает декомпозицию столбца. Наконец, 2D-разложение приведет к матрицам m × n, которые являются компонентами 2D EMD исходных данных X (i, j). Матричное выражение для результата двумерного разложения:

${ displaystyle CRX (m, n, i, j) = { begin {bmatrix} crx (1,1, i, j) & crx (2,1, i, j) & cdots & crx (m, 1, i , j) crx (1,2, i, j) & crx (2,2, i, j) & cdots & crx (m, 2, i, j) vdots & vdots && vdots crx (1, n, i, j) & crx (2, n, i, j) & cdots & crx (m, n, i, j) end {bmatrix}}}$^[3]

где каждый элемент в матрице CRX представляет собой подматрицу размера i × j, представляющую разложенный компонент 2D EMD. Мы используем аргументы (или суффиксы) m и n для представления номера компонентов разложения по строкам и столбцам, соответственно, а не индексы, указывающие строку и столбец матрицы. Обратите внимание, что m и n указывают количество компонентов, полученных в результате разложения по строкам (по горизонтали), а затем по столбцам (по вертикали), соответственно.

Комбинируя компоненты одного и того же масштаба или сопоставимых масштабов с минимальной разницей, вы получите 2D-объект с наилучшей физической значимостью. Компоненты первой строки и первого столбца имеют примерно одинаковый или сопоставимый масштаб, хотя их масштабы постепенно увеличиваются вдоль строки или столбца. Следовательно, объединение компонентов первой строки и первого столбца приведет к получению первого полного 2D-компонента (C2D1). Последующий процесс заключается в выполнении той же техники комбинирования с остальными компонентами, вклад шумов распределяется на отдельные компоненты в соответствии с их масштабами. В результате возникают когерентные структуры компонентов. Таким образом, метод псевдо-BEMD может применяться для выявления эволюции пространственных структур данных.

${ displaystyle C2D_ {L} = sum _ {k = 1} ^ {m} crx_ {k, l} + sum _ {k = l + 1} ^ {n} crx_ {l, k}}$^[3]

Следуя соглашению 1D EMD, последний компонент полных 2D-компонентов называется остатком.

Предлагаемая здесь схема разложения может быть распространена на данные любых размеров, например данные о твердом теле с различной плотностью или другими измеряемыми свойствами.

дан как ${ Displaystyle I = е (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, ldots, x_ {n})}$

В подписке n указано количество измерений. Процедура идентична описанной выше: разложение начинается с первого измерения и продолжается до второго и третьего, пока не будут исчерпаны все измерения. Декомпозиция по-прежнему осуществляется с помощью срезов. Этот новый подход основан на разделении исходных данных на одномерные срезы с последующим применением ансамблевого EMD к каждому одномерному срезу. Ключевой частью метода является построение МВФ по принципу комбинирования сопоставимых компонентов минимального масштаба.

Например, матричное выражение для результата трехмерного разложения - это TCRX (m, n, q, i, j, k), где T обозначает разложение по глубине (или времени). На основе принципа сопоставимой комбинации минимального масштаба, применяемого в случае 2D, количество полных 3D компонентов будет наименьшим значением м, п, и q. Общее уравнение для получения 3D-компонентов:

${ displaystyle C3D_ {L} = sum _ {m = l} ^ {m} sum _ {n = ell} ^ {n} tcrx_ {m, n, ell} + sum _ {m = ell +1} ^ {m} sum _ {q = ell +1} ^ {n} tcrx_ {m, ell, q} + sum _ {n = ell +1} ^ {m} sum _ {q = ell +1} ^ {m} tcrx _ { ell, n, q}}$  ^[3]

где ℓ обозначает уровень C3D, т.е.

${ displaystyle { begin {case} ell = m = n & { text {if}} m = n; ell = m & { text {if}} m n. end {case}}}$

Метод псевдо-БЭМД имеет несколько преимуществ. Например, процедура просеивания псевдо-BEMD представляет собой комбинацию одномерного просеивания. Он использует подгонку одномерной кривой в процессе просеивания каждого измерения и не имеет трудностей, с которыми сталкиваются в алгоритмах 2D EMD с использованием аппроксимации поверхности, которая имеет проблему определения седловой точки как локального максимума или минимума. Смещение - это процесс, который разделяет IMF и повторяет процесс до получения остатка. Первым шагом выполнения просеивания является определение верхней и нижней огибающих, охватывающих все данные, с помощью метода сплайнов. Схема просеивания для псевдо-BEMD подобна 1D-просеиванию, где локальное среднее стандартного EMD заменяется средним значением многомерных огибающих кривых.

Основным недостатком этого метода является то, что, хотя мы могли бы распространить этот алгоритм на любые размерные данные, мы используем его только для двухмерных приложений. Потому что время вычисления данных более высокого измерения будет пропорционально количеству IMF следующих измерений. Следовательно, это может превысить вычислительную мощность системы обработки геофизических данных, когда количество EMD в алгоритме велико. Поэтому ниже мы упомянули более быстрые и лучшие методы устранения этого недостатка.

Разложение на эмпирические моды многомерного ансамбля.^[4]

Быстрый и эффективный анализ данных очень важен для больших последовательностей, поэтому MDEEMD фокусируется на двух важных вещах.

1. Сжатие данных, которое включает разложение данных на более простые формы.
2. EEMD на сжатых данных; это наиболее сложно, поскольку при декомпозиции сжатых данных высока вероятность потери ключевой информации. Для сжатия данных используется метод сжатия данных, который использует анализ главных компонент (PCA) / эмпирическую ортогональную функцию (EOF) или анализ основных колебаний.

Анализ главных компонентов (PCA) или анализ эмпирических ортогональных функций (EOF).

В Анализ главных компонентов /эмпирическая ортогональная функция Анализ (PCA / EOF) широко использовался при анализе данных и сжатии изображений, его основная цель - уменьшить набор данных, содержащий большое количество переменных, до набора данных, содержащего меньше переменных, но который по-прежнему представляет собой большую часть изменчивости содержится в исходном наборе данных. В исследованиях климата анализ EOF часто используется для изучения возможных пространственных режимов (т. Е. Моделей) изменчивости и того, как они меняются со временем. В статистике анализ EOF известен как Анализ главных компонентов (СПС).

Обычно EOF находятся путем вычисления собственных значений и собственных векторов пространственно взвешенной ковариационной матрицы аномалий поля. Чаще всего пространственные веса - это cos (широта) или, что лучше для анализа EOF, sqrt (cos (широта)). Полученные собственные значения обеспечивают меру процентной дисперсии, объясняемой каждой модой. К сожалению, собственные значения не обязательно различны из-за проблем с выборкой. North et al. (Mon. Wea. Rev., 1982, уравнения 24-26) предоставляют «практическое правило» для определения того, отличается ли конкретное собственное значение (мода) от своего ближайшего соседа.

Атмосферные и океанографические процессы обычно «красные», что означает, что большая часть дисперсии (мощности) содержится в первых нескольких режимах. Временные ряды каждой моды (также известные как основные компоненты) определяются путем проецирования полученных собственных векторов на пространственно взвешенные аномалии. Это приведет к амплитуде каждой моды за период записи.

По конструкции шаблоны EOF и главные компоненты независимы. Два фактора препятствуют физической интерпретации EOF: (i) ограничение ортогональности и (ii) производные шаблоны могут зависеть от предметной области. Физические системы не обязательно ортогональны, и если шаблоны зависят от используемой области, они могут не существовать, если область изменится.

Пространственно-временной сигнал с использованием многомерного ансамблевого разложения по эмпирическим модам^[4]

Предположим, у нас есть пространственно-временные данные Т(s, т), где s - это пространственные местоположения (изначально необязательно одномерные, но их необходимо преобразовать в одно пространственное измерение) от 1 до N и т временные местоположения от 1 до M.

Используя PCA / EOF, можно выразить Т(s, т) в ${ Displaystyle Т (s, t) = сумма _ {я = 1} ^ {K} Y_ {я} (т) V_ {я} (т)}$^[4]

где Y_я(т) это я-й главный компонент и V_я(т) яth эмпирическая ортогональная функция (EOF) шаблон и K это меньший из M и N. PC и EOF часто получаются путем решения проблемы собственных значений / собственных векторов либо матрицы временной ковариации, либо матрицы пространственной ковариации в зависимости от того, какая размерность меньше. Дисперсия, объясняемая одной парой PCA / EOF, представляет собой соответствующее собственное значение, деленное на сумму всех собственных значений матрицы ковариации.

Если данные, подвергнутые анализу PCA / EOF, представляют собой полностью белый шум, все собственные значения теоретически равны и нет предпочтительного направления вектора для главного компонента в пространстве PCA / EOF. Чтобы сохранить большую часть информации данных, необходимо сохранить почти все ПК и EOF, делая размер выражения PCA / EOF даже больше, чем у оригинала, но если исходные данные содержат только одну пространственную структуру и колеблются со временем , то исходные данные могут быть выражены как произведение одного ПК и одного EOF, подразумевая, что исходные данные большого размера могут быть выражены данными небольшого размера без потери информации, то есть с высокой степенью сжатия.

Изменчивость меньшей области имеет тенденцию быть более пространственно-временной когерентной, чем вариабельность более крупной области, содержащей эту меньшую область, и, следовательно, ожидается, что для учета порогового уровня дисперсии потребуется меньше компонентов PC / EOF, следовательно, один Способ повышения эффективности представления данных в терминах компонента PC / EOF заключается в разделении глобальной пространственной области на набор подобластей. Если мы разделим исходную глобальную пространственную область на n подобластей, содержащих N1, N2,. . . , Nn пространственных сеток соответственно со всеми Ni, где i = 1,. . . , n, больше M, где M обозначает количество временных местоположений, мы ожидаем, что количество сохраненных пар PC / EOF для всех подобластей K1, K2,. . . , Kn все меньше, чем K, общее количество значений данных в PCA / EOF-представлении исходных данных глобальной пространственной области с помощью приведенного уравнения равно K × (N + M). Для нового подхода с использованием пространственного деления , общее количество значений в представлении PCA / EOF равно

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} (M + N_ {i}) = K '_ {i} N + M sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {я}}$

где

${ displaystyle K '_ {i} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} N_ {i}} {N}}.}$  ^[4]

Следовательно, степень сжатия пространственной области такова:

${ displaystyle { text {Степень сжатия}} = { frac {NM} {NK '_ {i} + M sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {i}}}}$^[4]

Преимущество этого алгоритма состоит в том, что оптимизированное разделение и оптимизированный выбор пар PC / EOF для каждой области приведет к более высокой скорости сжатия и приведет к значительно меньшему количеству вычислений по сравнению с псевдо-BEMD, расширенным до более высоких измерений.

Быстрое многомерное ансамблевое разложение на эмпирические моды^[4]

Для временного сигнала длины M, сложность кубического сплайна, отсеивающего его локальные экстремумы, составляет порядка М, то же самое и с EEMD, поскольку он повторяет операцию подгонки шлицев только с числом, которое не зависит от M. Однако, поскольку число просеивания (часто выбирается как 10) и номер ансамбля (часто несколько сотен) умножаются на операции сплайн просеивания, следовательно, EEMD требует много времени по сравнению со многими другими методами анализа временных рядов, такими как преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. MEEMD использует EEMD-декомпозицию временных рядов на каждой сетке деления исходного временного сигнала, операция EEMD повторяется на количество общих точек сетки области. Идея быстрого MEEMD очень проста. Поскольку сжатие на основе PCA / EOF выражает исходные данные в терминах пар ПК и EOF, посредством декомпозиции ПК вместо временных рядов каждой сетки, и с использованием соответствующей пространственной структуры, изображенной соответствующими EOF, вычислительная нагрузка может быть значительной. уменьшено.

Быстрый MEEMD включает следующие шаги:

1. Все пары EOF, V_я, и их соответствующие ПК, Y_я, пространственно-временных данных по сжатой подобласти.
2. Количество пар PC / EOF, которые сохраняются в сжатых данных, определяется путем вычисления накопленной общей дисперсии ведущих пар EOF / PC.
3. Каждый ПК Y_я разлагается с использованием EEMD, т.е.

${ displaystyle Y_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j, i} + r_ {n, i}}$^[4]

где c_j,я представляет собой простые колебательные режимы определенных частот и р_п,я это остаток данных Y_я. Результат яй компонент MEEMD C_j получается как

${ displaystyle C_ {j} = sum _ {j = 1} ^ {40} c_ {j, i} V_ {i}.}$ ^[4]

В этом сжатом вычислении мы использовали приближенные свойства банка диадических фильтров EMD / EEMD.

Обратите внимание, что подробное знание функций внутреннего режима искаженного шумом сигнала может помочь в оценке значимости этого режима. Обычно предполагается, что первый IMF захватывает большую часть шума, и, следовательно, с помощью этого IMF мы могли бы оценить уровень шума и оценить искаженный шумом сигнал, приблизительно исключив влияние шума. Этот метод известен как шумоподавление и устранение тренда. Еще одно преимущество использования MEEMD состоит в том, что смешение мод значительно сокращается из-за функции EEMD.
Стратегия шумоподавления и устранения тренда может использоваться для обработки изображения для улучшения изображения, и аналогичным образом она может применяться к аудиосигналам для удаления искаженных данных в речи. MDEEMD может использоваться для разбивки изображений и аудиосигналов на IMF и на основе знаний IMF выполнять необходимые операции. Декомпозиция изображения очень удобна для приложений, основанных на радарах, поскольку при декомпозиции изображения могут быть обнаружены фугасы и т. Д.

Параллельная реализация многомерного ансамбля разложения эмпирических мод.^[5]

Несмотря на то, что в MEEMD потенциально существует достаточный параллелизм в измерениях ансамбля и / или в нерабочих измерениях, реализация MEEMD с высокими характеристиками все еще сталкивается с рядом проблем.^[5]

Двумерный EMD поврежден шумом

1. Динамические вариации данных: в EEMD белые шумы изменяют количество экстремумов, вызывая некоторую нерегулярность и дисбаланс нагрузки и, таким образом, замедляя параллельное выполнение.
2. Последовательный доступ к многомерным данным в память: многомерные данные хранятся в непостоянных ячейках памяти. Таким образом, доступ по большим размерам становится последовательным и несвязанным, что приводит к потере доступной пропускной способности памяти.
3. Ограниченные ресурсы для использования параллелизма: хотя независимые EMD и / или EEMD, составляющие MEEMD, обеспечивают высокий уровень параллелизма, вычислительные мощности многоядерных и многоядерных процессоров могут быть недостаточными для полного использования параллелизма, присущего MEEMD. Более того, усиление параллелизма может увеличить требования к памяти, превышающие возможности памяти этих процессоров.
   

   Функция Bi-Dimensional EMD Intrinsic mode вместе с остаточным шумом устраняет уровень шума.
   В MEEMD, когда высокая степень параллелизма обеспечивается размерностью ансамбля и / или нерабочими измерениями, преимущества использования параллельного алгоритма на уровне потоков тройные.^[5]

1. Он может использовать больше параллелизма, чем параллельный алгоритм на уровне блоков.
2. Это не вызывает никакой связи или синхронизации между потоками, пока результаты не будут объединены, поскольку выполнение каждого EMD или EEMD является независимым.
3. Его реализация похожа на последовательную, что делает ее более простой.

Реализация OpenMp.^[5]

EEMD, составляющие MEEMD, назначаются независимым потокам для параллельного выполнения, полагаясь на среду выполнения OpenMP для решения любых проблем с дисбалансом нагрузки. Простые обращения к памяти для данных высокой размерности устраняются путем переноса этих данных в более низкие измерения, что приводит к лучшему использованию строк кэша. Частичные результаты каждого EEMD делаются конфиденциальными для правильной работы. Требуемая память зависит от количества потоков OpenMP и управляется средой выполнения OpenMP.

Реализация CUDA.^[5]

В реализации CUDA графического процессора каждый EMD отображается в поток. Структура памяти, особенно данных большой размерности, перестраивается для соответствия требованиям объединения памяти и помещается в 128-байтовые строки кэша. Данные сначала загружаются по самому низкому измерению, а затем потребляются по более высокому измерению. Этот шаг выполняется, когда гауссов шум добавляется для формирования данных ансамбля. В новом макете памяти размер ансамбля добавлен к самому низкому измерению, чтобы уменьшить возможное расхождение ветвей. Влияние неизбежного расхождения ветвей из-за нерегулярности данных, вызванного шумом, сводится к минимуму с помощью метода регуляризации с использованием встроенной памяти.Более того, кэш-память используется для амортизации неизбежных несвязанных обращений к памяти.^[5]

Быстрая и адаптивная многомерная эмпирическая модовая декомпозиция

Концепция

Быстрая и адаптивная двухмерная эмпирическая модовая декомпозиция (FABEMD) является улучшенной версией традиционного БЭМД.^[6] FABEMD можно использовать во многих областях, включая анализ медицинских изображений, анализ текстуры и так далее. Фильтр статистики заказов может помочь в решении проблем эффективности и ограничения размера в BEMD.

Основанный на алгоритме BEMD, метод реализации FABEMD действительно похож на BEMD, но подход FABEMD просто меняет шаг интерполяции на метод прямой оценки огибающей и ограничивает количество итераций для каждого BIMF одним. В результате для аппроксимации верхнего и нижнего конверта будет использоваться статистика двух порядков, включая MAX и MIN. Размер фильтра будет зависеть от карт максимумов и минимумов, полученных из входных данных. Шаги алгоритма FABEMD перечислены ниже.

Алгоритм FABEMD^[6]

Шаг 1 - Определите и определите локальный максимум и минимум

В качестве традиционного подхода BEMD мы можем найти j-й ITS-BIMF ${ displaystyle F_ {Tj}}$ любого источника ввода ${ displaystyle S_ {i}}$ методом соседнего окна. Для подхода FABEMD мы выбираем другой подход к реализации.

Из входных данных мы можем получить 2D-матрицу, представляющую

${ displaystyle A = left ({ begin {array} {* {20} {c}} a_ {11} & cdots & a_ {1N} vdots & ddots & vdots a_ {M1} & cdots & a_ {MN} end {array}} right)}$^[6]

где ${ displaystyle a_ {MN}}$ - расположение элемента в матрице A, и мы можем определить размер окна как ${ displaystyle w_ {ex} times w_ {ex}}$. Таким образом, мы можем получить максимальное и минимальное значение из матрицы следующим образом:

${ displaystyle a_ {mn} треугольникq { begin {cases} { text {local max}} & { text {if}} a_ {mn}> a_ {k ell}, { text {local min}} & { text {if}} a_ {mn}$^[6]

где

${ displaystyle k = m - { frac {w_ {ex} -1} {2}}: m + { frac {w_ {ex} -1} {2}}, (k neq m)}$^[6]

${ displaystyle ell = n - { frac {w_ {ex} -1} {2}}: n + { frac {w_ {ex} -1} {2}}, ( ell neq n)}$^[6]

Блок-схема алгоритма FABEMD^[7]

Шаг 2 - Получите размер окна для фильтра статистики заказов

Сначала определим ${ displaystyle d _ { mathrm {прил} - max}}$ и ${ displaystyle d _ { mathrm {прил} - min}}$ быть максимальным и минимальным расстоянием в массиве, которое вычисляется от каждой локальной точки максимума или минимума до ближайшего ненулевого элемента. Также, ${ displaystyle d _ { mathrm {прил} - max}}$ и ${ displaystyle d _ { mathrm {прил} - min}}$ будут отсортированы по убыванию в массиве согласно удобному выбору. В противном случае мы будем рассматривать только квадратное окно. Таким образом, общая ширина окна будет следующей:

${ displaystyle w _ { max { rm { _en-g}}} = operatorname {minimum} {d _ { mathrm {adj} - max} }}$^[6]

${ displaystyle w _ { max { rm { _en-g}}} = operatorname {maximum} {d _ { mathrm {adj} - max} }}$^[6]

${ displaystyle w _ { min { rm { _en-g}}} = operatorname {minimum} {d _ { mathrm {adj} - min} }}$^[6]

${ displaystyle w _ { min { rm { _en-g}}} = operatorname {maximum} {d _ { mathrm {adj- min}} }}$^[6]

Шаг 3. Примените статистику заказов и фильтры сглаживания, чтобы получить выходные данные фильтра MAX и MIN.

Для получения верхнего и нижнего конвертов необходимо определить два параметра ${ Displaystyle U_ {Ej} (х, у)}$ и ${ Displaystyle L_ {Ej} (х, у)}$, и уравнение будет следующим:

${ displaystyle U_ {Ej} (x, y) = max {F_ {Tj} (s, t) } = { frac {1} {w_ {sm} times w_ {sm}}} sum _ {(s, t) in Z_ {xy}} {U_ {Ej}} (s, t)}$^[6]

${ displaystyle L_ {Ej} (x, y) = min {F_ {Tj} (s, t) } = { frac {1} {w_ {sm} times w_ {sm}}} sum _ {(s, t) in Z_ {xy}} L_ {Ej} (s, t)}$^[6]

где ${ displaystyle Z_ {xy}}$ определяется как квадратная область размера окна, и ${ displaystyle w_ {sm}}$ ширина окна сглаживающего фильтра, который ${ displaystyle w_ {sm}}$ равно ${ displaystyle w_ {ru}}$. Следовательно, фильтры MAX и MIN будут формировать новую двумерную матрицу для поверхности огибающей, которая не изменит исходные двумерные входные данные.^[8]

Шаг 4 - Настройте оценку по верхнему и нижнему конвертам

Этот шаг должен убедиться, что оценка огибающей в FABEMD почти близка к результату из BEMD с помощью интерполяции. Чтобы провести сравнение, нам необходимо сформировать соответствующие матрицы для верхней огибающей, нижней огибающей и средней огибающей, используя интерполяцию поверхности сплайна тонкой пластины к картам max и min.

Преимущества

Этот метод (FABEMD) позволяет использовать меньше вычислений для быстрого получения результата и позволяет нам обеспечить более точную оценку BIMF. Более того, FABEMD более адаптивен для обработки входных данных большого размера, чем традиционный BEMD. В противном случае FABEMD - эффективный метод, который нам не нужно учитывать граничные эффекты и проблемы перерегулирования-недорегулирования.

Ограничения

Есть одна конкретная проблема, с которой мы столкнемся в этом методе. Иногда во входных данных будет только один элемент локального максимума или минимума, поэтому массив расстояний будет пустым.

Разложение по многомерным эмпирическим модам на основе дифференциальных уравнений в частных производных

Концепция

В Разложение многомерных эмпирических мод на основе уравнений в частных производных (MEMD на основе PDE) Подход представляет собой способ улучшить и преодолеть трудности оценки средней огибающей сигнала от традиционного EMD. MEMD на основе PDE фокусируется на модификации исходного алгоритма MEMD. Таким образом, результат предоставит аналитическую формулировку, которая может облегчить теоретический анализ и наблюдение за производительностью. Для выполнения многомерного EMD нам необходимо расширить процесс просеивания на основе 1-D PDE.^[9] в 2-мерное пространство, как показано ниже.

Здесь в качестве примера мы возьмем двухмерное EMD на основе PDE.

Алгоритм BEMD на основе PDE^[9]

Шаг 1. Расширьте модель супердиффузии с 1-D на 2-D

Рассмотрена матричная функция супердиффузии

${ displaystyle G_ {q} (x) = left ({ begin {array} {* {20} {c}} g_ {q, 1} (x) & 0 0 & g_ {q, 2} (x) end {array}} right)}$^[9]

где ${ displaystyle {g_ {q, i}} (х)}$ представляют функцию остановки q-го порядка в направлении i.

Затем, исходя из Уравнения Навье – Стокса, уравнение диффузии будет:

${ displaystyle u_ {t} (x, t) = operatorname {div} ( alpha {G_ {1}} nabla u (x, t) - (1- alpha) {G_ {2}} nabla Delta u (x, t))}$^[9]

где ${ displaystyle alpha}$ - параметр натяжения, и мы предположили, что ${ displaystyle q = 2}$ .

Шаг 2. Соедините взаимосвязь между диффузионной моделью и PDE на неявной поверхности.

Для связи с PDE данное уравнение будет

${ displaystyle u_ {t} (x, t) = - (- 1) ^ {q} nabla _ {S} ^ {2q} u (x, t)}$  ^[9]

где ${ displaystyle nabla _ {S} ^ {2q}}$ - дифференциальный оператор 2q-го порядка по u, присущий поверхности S, и начальным условием для уравнения будет ${ Displaystyle и (у, т) = е}$ для любого y на поверхности S.

Шаг 3 - Рассмотрите все числовые разрешения

Чтобы получить теоретический результат и результат анализа из предыдущего уравнения, нам нужно сделать предположение.

Предположение:

Предполагается, что схемы численного разрешения представляют собой УЧП 4-го порядка без напряжения, а уравнение для УЧП 4-го порядка будет

${ displaystyle u_ {t} = - sum _ {i, j = 1} ^ {2} partial _ {x_ {i}} ^ {1} (g_ {i} partial _ {x_ {i}} ^ {1} partial _ {x_ {j}} ^ {2} u)}$  ^[9]

Прежде всего, мы явим схему, аппроксимируя процесс просеивания на основе PDE.

${ displaystyle U ^ {k + 1} = left (I- Delta t sum _ {i, j = 1} ^ {2} L_ {ij} right) U ^ {k}}$  ^[9]

где ${ displaystyle U}$ вектор, который состоит из значения каждого пикселя, ${ displaystyle L_ {ij}}$ - матрица, являющаяся разностным приближением оператора, а ${ displaystyle Delta t}$ это небольшой временной шаг.

Во-вторых, мы можем использовать аддитивное операторное расщепление (AOS)^[10] схема для улучшения свойства устойчивости, поскольку малый шаг по времени ${ displaystyle Delta t}$ будет нестабильным, если речь идет о большом временном шаге.

Наконец, мы можем использовать переменное направление неявное (ADI) схема. Используя схемы типа ADI, предлагается смешивать член производной, чтобы преодолеть проблему, заключающуюся в том, что схемы типа ADI могут использоваться только в уравнении диффузии второго порядка. Численно решаемое уравнение будет:

${ displaystyle U ^ {k + 1} = left ( prod _ {n = 1} ^ {2} (I- Delta tA_ {nn}) right) ^ {- 1} (I + Delta t сумма _ {i = 1} ^ {2} sum _ {j neq i} A_ {ij}) U ^ {k}}$^[9]

где ${ displaystyle A_ {ij}}$ матрица, которая является аппроксимация центральной разности оператору ${ displaystyle a_ {ij} partial _ {x_ {i}} ^ {1} partial _ {x_ {j}} ^ {2}}$

Преимущества

На основе Уравнения Навье – Стокса непосредственно, этот подход обеспечивает хороший способ получения и развития теоретических и численных результатов. В частности, BEMD на основе PDE может хорошо работать с полями разложения изображений. Этот подход может быть применен для извлечения переходного сигнала и предотвращения неопределенности характеристик некоторых сигналов.

Граничная обработка в двумерном эмпирическом разложении

Концепция

Есть некоторые проблемы в BEMD и реализации расширения границ в итеративном процессе просеивания, включая трудоемкость, форму и непрерывность краев, сравнение результатов разложения и так далее. Чтобы исправить эти проблемы, Граничная обработка в двумерной эмпирической декомпозиции (BPBEMD) метод был создан. Далее будут описаны основные моменты алгоритма нового метода.

Алгоритм BPBEMD^[11]

Несколько основных шагов алгоритма BPBEMD:

Шаг 1

Предполагая, что размер исходных входных данных и результирующих данных равен ${ Displaystyle N раз N}$ и ${ Displaystyle (N + 2M) раз (N + 2M)}$соответственно, мы также можем определить, что исходная матрица входных данных должна находиться в середине результирующей матрицы данных.

Шаг 2

Разделите исходную матрицу входных данных и матрицу результирующих данных на блоки ${ displaystyle M times M}$ размер.

Шаг 3

Найдите блок, который наиболее похож на соседний блок в исходной матрице входных данных, и поместите его в соответствующую матрицу результирующих данных.

Шаг 4

Сформируйте матрицу расстояний, в которой элементы матрицы взвешиваются по разным расстояниям между каждым блоком от этих границ.

Шаг 5

Реализуйте итеративное расширение, когда матрица результирующих данных сталкивается с огромным расширением границы, мы можем видеть, что блок в исходной матрице входных данных соответствует блоку в матрице результирующих данных.

Преимущества

Этот метод может обрабатывать большее количество элементов, чем традиционный метод BEMD. Кроме того, это может сократить время, затрачиваемое на процесс. В зависимости от использования синтеза текстуры на основе непараметрической выборки, BPBEMD может получить лучший результат после декомпозиции и извлечения.

Ограничения

Поскольку большинство входных данных изображений нестационарны, что не имеет граничных проблем, метод BPBEMD все еще не имеет достаточных доказательств того, что он адаптируется ко всем типам входных данных. Кроме того, использование этого метода для анализа текстуры и обработки изображений ограничено.

Приложения

В первой части эти методы MEEMD могут использоваться для наборов геофизических данных, таких как изменчивость климатических, магнитных и сейсмических данных, что позволяет использовать преимущества быстрого алгоритма MEEMD. MEEMD часто используется для нелинейной фильтрации геофизических данных из-за его быстрых алгоритмов и его способности обрабатывать большие объемы данных с использованием сжатия без потери ключевой информации. IMF может также использоваться как усилитель сигнала наземного радара для нелинейной обработки данных; очень эффективно обнаруживать геологические границы на основе анализа полевых аномалий.^[12]

Во второй части MEMD и FAMEMD на основе PDE могут быть реализованы для обработки звука, обработки изображений и анализа текстуры. Благодаря нескольким свойствам, включая стабильность, меньшие затраты времени и т. Д., Метод MEMD на основе PDE хорошо работает для адаптивной декомпозиции, шумоподавления данных и анализа текстуры. Кроме того, FAMEMD - отличный метод для сокращения времени вычислений и получения точной оценки в процессе. Наконец, метод BPBEMD обладает хорошей производительностью для обработки изображений и анализа текстур из-за его способности решать граничные проблемы расширения в последних технологиях.

использованная литература