Многополярное обменное взаимодействие - Multipolar exchange interaction

Магнитные материалы с прочным спин-орбитальное взаимодействие, например: LaFeAsO,^[1][2] PrFe₄п₁₂,^[3][4] YbRu₂Ge₂,^[5] UO₂,^{[6][7][8][9][10]} Нпо₂,^[11][12][13] Ce_1-хЛа_ИксB₆,^[14] URu₂Si₂^{[15][16][17][18][19]} и многие другие соединения, как обнаружено, имеют магнитное упорядочение, состоящее из мультиполей высокого ранга, например четырехместный, восьмерка и т. д.^[20] Благодаря сильной спин-орбитальной связи мультиполи автоматически вводятся в системы, когда квантовое число полного углового момента J больше 1/2. Если эти мультиполи связаны некоторыми механизмами обмена, эти мультиполи могут иметь некоторое упорядочение, как обычная проблема Гейзенберга со спином 1/2. Считается, что кроме многополярного порядка, многие явления скрытого порядка тесно связаны с многополярными взаимодействиями. ^[11][14][15]

Расширение тензорных операторов

Базовые концепты

Рассмотрим квантово-механическую систему с гильбертовым пространством, натянутым на ${ displaystyle | j, m_ {j} rangle}$, где ${ displaystyle j}$ - полный угловой момент и ${ displaystyle m_ {j}}$ это его проекция на ось квантования. Тогда любой квантовые операторы можно представить с помощью базисного набора ${ Displaystyle lbrace | j, m_ {j} rangle rbrace}$ как матрица с размерностью ${ displaystyle (2j + 1)}$. Следовательно, можно определить ${ displaystyle (2j + 1) ^ {2}}$ матрицы для полного расширения любого квантового оператора в этом гильбертовом пространстве. Взяв в качестве примера J = 1/2, квантовый оператор A может быть разложен как

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = 1 { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} + 2 { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} + 3 { begin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {bmatrix}} + 4 { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} = 1L_ {1,1} + 2L_ {1,2} + 3L_ {2,1} + 4L_ {2,2}}$

Очевидно, что матрицы: ${ Displaystyle L_ {ij} = | я rangle langle j |}$ образуют базис в операторном пространстве. Любой квантовый оператор, определенный в этом Гильберте, может быть расширен на ${ Displaystyle lbrace L_ {ij} rbrace}$ операторы. В дальнейшем назовем эти матрицы супербазисом, чтобы различать собственный базис квантовых состояний. В частности, вышеуказанная супер-основа ${ Displaystyle lbrace L_ {ij} rbrace}$ можно назвать переходным супербазисом, потому что он описывает переход между состояниями ${ displaystyle | я rangle}$ и ${ displaystyle | j rangle}$. На самом деле, это не единственная супер-основа, которая помогает. Мы также можем использовать матрицы Паули и единичную матрицу, чтобы сформировать супербазис

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + { frac {i} {2}} { begin {bmatrix} 0 & i - i & 0 end {bmatrix}} + { frac {3} {2}} { begin {bmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} I + { frac {i} { 2}} sigma _ {y} + { frac {3} {2}} sigma _ {z} + { frac {5} {2}} sigma _ {x}}$

Поскольку свойства вращения ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z}}$ следуют тем же правилам, что и тензор 1-го ранга кубических гармоник ${ displaystyle T_ {x}, T_ {y}, T_ {z}}$ и единичная матрица ${ displaystyle I}$ следует тем же правилам, что и тензор ранга 0 ${ displaystyle T_ {s}}$, базисный набор ${ displaystyle lbrace I, sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z} rbrace}$ можно назвать кубическим супербазисом. Другой широко используемый супербазис - сферический гармонический супербазис, который строится путем замены ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}}$ операторам подъема и опускания ${ Displaystyle lbrace I, sigma _ {- 1}, sigma _ {0}, sigma _ {+ 1} rbrace}$

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + 2 { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} + { frac {3} {2}} { begin {bmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} - 3 { begin { bmatrix} 0 & 0 - 1 & 0 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} I + 2 sigma _ {+ 1} + { frac {3} {2}} sigma _ {0 } -3 sigma _ {- 1}}$

Очередной раз, ${ displaystyle sigma _ {- 1}, sigma _ {0}, sigma _ {+ 1}}$ обладают теми же вращательными свойствами, что и тензоры сферических гармоник ранга 1 ${ displaystyle Y _ {- 1} ^ {1}, Y_ {0} ^ {1}, Y _ {- 1} ^ {1}}$, поэтому он называется сферическим супербазисом.

Потому что атомные орбитали ${ displaystyle s, p, d, f}$ также описываются сферическими или кубическими гармоническими функциями, можно вообразить или визуализировать эти операторы, используя волновые функции атомных орбиталей, хотя они по существу являются матрицами, а не пространственными функциями.

Если мы распространим проблему на ${ displaystyle J = 1}$, нам понадобится 9 матриц для формирования супербазиса. Для супербазиса перехода имеем ${ Displaystyle lbrace L_ {ij}; я, j = 1 sim 3 rbrace}$. Для кубического супербазиса имеем ${ displaystyle lbrace T_ {s}, T_ {x}, T_ {y}, T_ {z}, T_ {xy}, T_ {yz}, T_ {zx}, T_ {x ^ {2} -y ^ {2}}, T_ {3z ^ {2} -r ^ {2}} rbrace}$. Для сферического супербазиса имеем ${ displaystyle lbrace Y_ {0} ^ {0}, Y _ {- 1} ^ {1}, Y_ {0} ^ {1}, Y _ {- 1} ^ {1}, Y _ {- 2} ^ { 2}, Y _ {- 1} ^ {2}, Y_ {0} ^ {2}, Y_ {1} ^ {2}, Y_ {2} ^ {2} rbrace}$. В теории групп ${ displaystyle T_ {s} / Y_ {0} ^ {0}}$ называются скалярным тензором ранга 0, ${ displaystyle T_ {x, yz,} / Y _ {- 1,0, + 1} ^ {1}}$ называются дипольными или тензорами ранга 1, ${ displaystyle T_ {xy, yz, zx, x ^ {2} -y ^ {2}, 3z ^ {2} -r ^ {2}} / Y _ {- 2, -1,0, + 1, + 2} ^ {2}}$ называются квадрупольными или тензорами второго ранга.^[20]

Пример говорит нам, что для ${ displaystyle J}$-мультиплетная задача, потребуется все звание ${ displaystyle 0 sim 2J}$ тензорные операторы, образующие полный супербазис. Следовательно, для ${ displaystyle J = 1}$ В системе ее матрица плотности должна иметь квадрупольные компоненты. Это причина, по которой ${ displaystyle J> 1/2}$ задача автоматически вводит в систему мультиполи высокого ранга ^[21][22]

Формальные определения

матричные элементы и действительная часть соответствующих гармонических функций кубического операторного базиса в случае J = 1.^[21]

Общее определение сферического гармонического супербазиса ${ displaystyle J}$-мультиплетная задача может быть выражена как ^[20]

${ Displaystyle Y_ {K} ^ {Q} (J) = sum _ {MM ^ { prime}} (- 1) ^ {JM} (2K + 1) ^ {2} times left ({ begin {matrix} J & J & K ^ {^ { prime}} M ^ {^ { prime}} & M&Q end {matrix}} right) | JM rangle langle JM ^ {^ { prime}} | ,}$

где круглые скобки обозначают a 3-й символ; K - ранг, который колеблется ${ displaystyle 0 sim 2J}$; Q - индекс проекции ранга K, который изменяется от −K до + K. Кубический гармонический супербазис, в котором все тензорные операторы эрмитовы, можно определить как

${ displaystyle T_ {K} ^ {Q} = { frac {1} { sqrt {2}}} [(- 1) ^ {Q} Y_ {K} ^ {Q} (J) + Y_ {K } ^ {- Q} (J)]}$

${ displaystyle T_ {K} ^ {- Q} = { frac {i} { sqrt {2}}} [Y_ {K} ^ {- Q} (J) - (- 1) ^ {Q} Y_ {K} ^ {- Q} (J)]}$

Тогда любой квантовый оператор ${ displaystyle A}$ определено в ${ displaystyle J}$-мультиплетное гильбертово пространство может быть расширено как

${ displaystyle A = sum _ {K, Q} alpha _ {K} ^ {Q} Y_ {K} ^ {Q} = sum _ {K, Q} beta _ {K} ^ {Q} T_ {K} ^ {Q} = sum _ {i, j} gamma _ {i, j} L_ {i, j}}$

где коэффициенты расширения могут быть получены путем взятия внутреннего продукта следа, например ${ displaystyle alpha _ {K} ^ {Q} = Tr [AY_ {K} ^ {Q dagger}]}$По-видимому, можно составить линейную комбинацию этих операторов, чтобы образовать новый супербазис, обладающий различной симметрией.

Описание мульти-биржи

Используя теорему сложения тензорных операторов, произведение тензора ранга n и тензора ранга m может порождать новый тензор с рангом n + m ~ | n-m |. Следовательно, тензор высокого ранга может быть выражен как произведение тензоров низкого ранга. Это соглашение полезно для интерпретации терминов многополюсного обмена высокого ранга как процесса «множественного обмена» диполей (или псевдоспинов). Например, для сферических гармонических тензорных операторов оператора ${ displaystyle J = 1}$ случай, у нас есть

${ displaystyle Y_ {2} ^ {- 2} = 2Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {- 1}}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {- 1} = { sqrt {2}} (Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {0} + Y_ {1} ^ {0} Y_ {1 } ^ {- 1})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {0} = { sqrt {24}} / 6 (Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {+ 1} + 2Y_ {1} ^ {0} Y_ {1} ^ {0} + Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ {1} ^ {- 1})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {+ 1} = { sqrt {2}} (Y_ {1} ^ {0} Y_ {1} ^ {+ 1} + Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ { 1} ^ {0})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {+ 2} = 2Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ {1} ^ {+ 1}}$

В таком случае квадруполь-квадрупольное взаимодействие (см. Следующий раздел) можно рассматривать как двухступенчатое диполь-дипольное взаимодействие. Например, ${ displaystyle Y_ {2_ {i}} ^ {+ 2_ {i}} Y_ {2_ {j}} ^ {- 2_ {j}} = 4Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {j}} ^ {- 1_ {j}} Y_ {1_ {j}} ^ {- 1_ {j}}}$, поэтому одношаговый квадрупольный переход ${ displaystyle Y_ {2_ {i}} ^ {+ 2_ {i}}}$ местный ${ displaystyle i}$ теперь становится двухступенчатым дипольным переходом ${ displaystyle Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}}}$. Следовательно, появляются не только условия межсайтового обмена, но и условия внутрисайтового обмена (так называемый множественный обмен). Если ${ displaystyle J}$ даже больше, можно ожидать появления более сложных условий внутрисайтового обмена. Однако следует отметить, что это не разложение возмущений, а просто математический прием. Термины высокого ранга не обязательно меньше, чем термины низкого ранга. Во многих системах термины высокого ранга более важны, чем термины низкого ранга.^[20]

Многополярные обменные взаимодействия

Примеры диполь-дипольных и квадруполь-квадрупольных обменных взаимодействий в случае J = 1. Синяя стрелка означает, что переход имеет ${ displaystyle pi}$сдвиг фазы.^[21]

Существует четыре основных механизма, вызывающих обменные взаимодействия между двумя магнитными моментами в системе:^[20] 1). Прямой обмен 2). РККИ 3). Суперобмен 4). Спин-решетка. Независимо от того, какое из них преобладает, общий вид обменного взаимодействия можно записать как^[21]

${ displaystyle H = sum _ {ij} sum _ {KQ} C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}} T_ {K_ {i}} ^ {Q_ { i}} T_ {K_ {j}} ^ {Q_ {j}}}$

где ${ displaystyle i, j}$ индексы сайта и ${ displaystyle C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}}}$ - константа связи, связывающая два мультипольных момента ${ displaystyle T_ {K_ {i}} ^ {Q_ {i}}}$ и ${ displaystyle T_ {K_ {j}} ^ {Q_ {j}}}$. Сразу можно узнать, если ${ displaystyle K}$ ограничивается только 1, гамильтониан сводится к обычной модели Гейзенберга.

Важной особенностью многополярного обменного гамильтониана является его анизотропия.^[21] Значение константы связи ${ displaystyle C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}}}$ обычно очень чувствительна к относительному углу между двумя мультиполями. В отличие от обычного гамильтониана только спинового обмена, где константы связи изотропны в однородной системе, сильно анизотропные атомные орбитали (вспомните форму ${ displaystyle s, p, d, f}$ волновые функции), связанные с магнитными моментами системы, неизбежно внесут огромную анизотропию даже в однородную систему. Это одна из основных причин того, что большинство многополярных порядков имеют тенденцию быть неколлинеарными.

Антиферромагнетизм мультиполярных моментов.

Переворачивание фаз мультиполей ^[21]

Цепочки заказа AFM различных мультиполей.^[21]

В отличие от магнитного спина, где антиферромагнетизм можно определить, перевернув ось намагничивания двух соседних узлов из ферромагнитный конфигурации, переворот оси намагничивания мультиполя обычно не имеет смысла. Принимая ${ displaystyle T_ {yz}}$ момент, например, если перевернуть ось Z, сделав ${ displaystyle pi}$ вращение к оси Y просто ничего не меняет. Поэтому предлагаемое определение^[21] антиферромагнитного мультиполярного упорядочения состоит в том, чтобы перевернуть их фазы на ${ displaystyle pi}$, т.е. ${ displaystyle T_ {yz} rightarrow e ^ {i pi} T_ {yz} = - T_ {yz}}$. В этом отношении антиферромагнитное спиновое упорядочение является лишь частным случаем этого определения, т.е. переворот фазы дипольного момента эквивалентен перевороту его оси намагниченности. Что касается мультиполей высокого ранга, например ${ displaystyle T_ {yz}}$, фактически становится ${ displaystyle pi / 2}$ вращение и для ${ displaystyle T_ {3z ^ {2} -r ^ {2}}}$ это даже не вращение.

Вычислить константы связи

Расчет многополярных обменных взаимодействий остается сложной задачей во многих аспектах. Несмотря на то, что было много работ, основанных на подгонке модельных гамильтонианов экспериментом, предсказания констант связи на основе схем из первого принципа все еще отсутствуют. В настоящее время реализованы два исследования, основанные на первопринципах, для изучения многополярных обменных взаимодействий. Раннее исследование было разработано в 80-х годах. Он основан на подходе среднего поля, который может значительно снизить сложность констант связи, индуцированных механизмом РККИ, поэтому многополярный обменный гамильтониан может быть описан всего несколькими неизвестными параметрами и может быть получен путем подгонки с данными эксперимента.^[23] Позже первопринципный подход к оценке неизвестных параметров получил дальнейшее развитие и получил хорошее согласие с некоторыми выбранными соединениями, например цериевые момнпниктиды.^[24] Недавно был предложен и другой первопринципный подход.^[21] Он отображает все константы связи, вызванные всеми механизмами статического обмена, в серию расчетов полной энергии методом DFT + U и получил согласие с диоксидом урана.

использованная литература