Нормальное расширение - Normal extension

В абстрактная алгебра, а нормальное расширение является расширение алгебраического поля L/K для которого каждый многочлен несводимый над K либо не имеет корня в L или разбивается на линейные множители в L. Бурбаки называет такое расширение квазиРасширение Галуа.

Определение

В расширение алгебраического поля L/K нормально (мы также говорим, что L это нормально K) если каждые неприводимый многочлен над K, имеющий хотя бы один корень в L раскалывается L. Другими словами, если α ∈ L, то все конъюгирует из α над K (т.е. все корни минимальный многочлен из α над K) принадлежать L.

Другие свойства

Позволять L быть продолжением поля K. Потом:

• Если L является нормальным продолжением K и если E является промежуточным расширением (т.е. L ⊃ E ⊃ K), тогда L является нормальным продолжением E.^{[нужна цитата ]}
• Если E и F являются нормальным продолжением K содержалась в L, то композитум EF и E ∩ F также являются нормальным продолжением K.^{[нужна цитата ]}

Примеры и контрпримеры

Например, ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ является нормальным продолжением ${ displaystyle mathbb {Q},}$ так как это поле расщепления ${ displaystyle x ^ {2} -2.}$ С другой стороны, ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$ не является нормальным продолжением ${ displaystyle mathbb {Q}}$ так как неприводимый многочлен ${ displaystyle x ^ {3} -2}$ имеет в себе один корень (а именно, ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2}}}$), но не все из них (у него нет невещественных кубических корней из 2). Напомним, что поле ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}}}$ из алгебраические числа является алгебраическим замыканием ${ displaystyle mathbb {Q},}$ т.е. содержит ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}).}$ С,

${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}) = left. left {a + b { sqrt [{3}] {2}} + c { sqrt [{3}] {4}} in { overline { mathbb {Q}}} , , right | , , a, b, c in mathbb {Q} right }}$

и если ω примитивный кубический корень из единицы, то отображение

${ displaystyle { begin {cases} sigma: mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}) longrightarrow { overline { mathbb {Q}}} a + b { sqrt [{3}] {2}} + c { sqrt [{3}] {4}} longmapsto a + b omega { sqrt [{3}] {2}} + c omega ^ { 2} { sqrt [{3}] {4}} end {case}}}$

это вложение ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$ в ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}}}$ чье ограничение на ${ displaystyle mathbb {Q}}$ это личность. Однако σ не является автоморфизмом ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$.

Для любого прайма п, расширение ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{p}] {2}}, zeta _ {p})}$ нормальная степень п(п − 1). Это поле расщепления Икс^п − 2. Здесь ${ displaystyle zeta _ {p}}$ обозначает любой пth первобытный корень единства. Поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}, zeta _ {3})}$ нормальное закрытие (см. ниже) ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$.

Нормальное закрытие

Если K это поле и L является алгебраическим расширением K, то существует алгебраическое расширение M из L такой, что M является нормальным продолжением K. Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое минимально, т.е. единственное подполе поля M который содержит L и которое является нормальным продолжением K является M сам. Это расширение называется нормальное закрытие расширения L из K.

Если L является конечным расширением K, то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

Смотрите также

• Расширение Галуа
• Нормальная основа

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556
• Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра II (2-е изд.), W. H. Freeman, ISBN  0-7167-1933-9, МИСТЕР  1009787