Купол Нортона - Википедия - Nortons dome

Купол Нортона это мысленный эксперимент который демонстрирует недетерминированный система в рамках Ньютоновская механика. Он был разработан Джоном Д. Нортоном в 2003 году.^[1][2] Это частный предельный случай более общего класса примеров 1997 года, принадлежащих Бхату и Бернштейну.^[3] Проблема купола Нортона может рассматриваться как проблема физики, математики или философии.^[4][5][6] Это ставит интересные философские вопросы о концепциях причинность, детерминизм, и теория вероятности.

Описание

Модель состоит из идеализированной частицы, изначально неподвижно сидящей на вершина идеализированного радиально-симметричного купола без трения, описываемого уравнением

${ displaystyle h = { frac {2} {3g}} r ^ { frac {3} {2}}}$,

куда час это вертикальное смещение от вершины купола к точке на куполе, р это геодезический расстояние от вершины купола до этой точки (другими словами, радиальная координата р «вписан» на поверхность), и грамм - безразмерная постоянная.^[7][8]

Решения

Нортон показывает, что существует два класса математических решений системы в рамках ньютоновской физики. В первом случае частица навсегда остается на вершине купола. Во втором случае частица некоторое время сидит на вершине купола, а затем через произвольный промежуток времени начинает скользить по куполу в произвольном направлении. Кажущийся парадокс в этом втором случае состоит в том, что это, казалось бы, происходит без видимой причины и без какой-либо радиальной силы, оказываемой на него какой-либо другой сущностью, что явно противоречит как физической интуиции, так и нормальным интуитивным представлениям о причина и следствие, но движение все еще полностью согласуется с математикой Законы движения Ньютона.^{[нужна цитата ]}

Чтобы увидеть, что все эти уравнения движения являются физически возможными решениями, полезно использовать временную обратимость ньютоновской механики. Можно катить шар вверх по куполу так, чтобы он достиг вершины за конечное время и с нулевой энергией и останавливался там. Благодаря обращению времени, для мяча является правильным решением некоторое время покоиться вверху, а затем скатиться вниз в любом одном направлении.^{[нужна цитата ]}

Разрешение парадокса

Хотя мысленный эксперимент Нортона был подвергнут множеству критических замечаний, например, как нарушение принципа Липшицева преемственность (сила, фигурирующая во втором законе Ньютона, не является липшицевой функцией траектории частицы - это позволяет уклониться от локальной теоремы единственности для решений обыкновенных дифференциальных уравнений) или в нарушение принципов физическая симметрия, или что он каким-то иным образом «нефизичен», среди его критиков нет единого мнения относительно того, почему они считают его недействительным.

Неопределенные производные

Однако простая критика мысленного эксперимента заключается в следующем:

Весь аргумент зависит от поведения частицы в точке ${ displaystyle r = 0}$, в течение периода времени, когда он имеет нулевую скорость. Традиционная ньютоновская механика сказала бы, что положение частицы бесконечно мало

${ displaystyle h = { frac {F} {2m}} ( Delta t) ^ {2}}$ ,

на некоторое время ${ displaystyle Delta t}$, но поскольку второй производной поверхности в этой точке не существует, сила неопределима. Поэтому совершенно очевидно, что бесконечно малое движение объекта также неопределенно.

Смотрите также

• Народная наука
• Индетерминизм
• Спонтанное нарушение симметрии

Рекомендации

внешняя ссылка

• Веб-страница Джона Нортона о проблеме купола Нортона