Численные методы в механике жидкости - Numerical methods in fluid mechanics

Жидкое движение регулируется Уравнения Навье – Стокса, набор связанных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, выведенных из основных законов сохранения масса, импульс и энергия. Неизвестные обычно скорость потока, то давление и плотность и температура. В аналитическое решение этого уравнения невозможно, поэтому в таких ситуациях ученые прибегают к лабораторным экспериментам. Полученные ответы, однако, обычно качественно различаются, так как динамическое и геометрическое сходство трудно обеспечить одновременно между лабораторным экспериментом и лабораторным экспериментом. прототип. Кроме того, разработка и построение этих экспериментов могут быть трудными (и дорогостоящими), особенно для стратифицированных вращающихся потоков. Вычислительная гидродинамика (CFD) - дополнительный инструмент в арсенале ученых. Вначале CFD часто вызывала споры, так как предполагала дополнительное приближение к основным уравнениям и поднимала дополнительные (законные) вопросы. В настоящее время CFD является признанной дисциплиной наряду с теоретическими и экспериментальными методами. Эта позиция во многом обусловлена экспоненциальным ростом мощности компьютеров, что позволяет нам решать все более крупные и сложные проблемы.

Дискретность

Центральным процессом в CFD является процесс дискретизация, т.е. процесс получения дифференциальных уравнений с бесконечным числом степени свободы, и сводя ее к системе конечных степеней свободы. Следовательно, вместо того, чтобы определять решение везде и на все времена, мы будем удовлетворены его расчетом в конечном числе мест и в определенные промежутки времени. В уравнения в частных производных затем сводятся к системе алгебраических уравнений, которую можно решить на компьютере. Ошибки закрадываются в процессе дискретизации. Необходимо контролировать характер и характеристики ошибок, чтобы гарантировать, что:

мы решаем правильные уравнения (свойство согласованности)
что ошибка может быть уменьшена при увеличении числа степеней свободы (стабильности и сходимости).

Как только эти два критерия установлены, мощность вычислительных машин может быть использована для решения проблемы численно надежным способом. Различные схемы дискретизации были разработаны для решения множества задач. Наиболее важными для наших целей являются: методы конечных разностей, методы конечных объемов, методы конечных элементов, и спектральные методы.

Метод конечных разностей

Конечная разность заменяет бесконечно малый предельный процесс вычисления производной:

{ displaystyle lim _ { Delta x to 0} f '(x) = { frac {f (x + Delta x) -f (x)} { Delta x}}}

с конечным предельным процессом, т.е.

{ displaystyle f '(x) = { frac {f (x + Delta x) -f (x)} { Delta x}} + O ( Delta x)}

Период, термин ${ Displaystyle О ( Дельта х)}$ дает указание на величину ошибки как функцию шага сетки. В этом случае ошибка уменьшается вдвое, если интервал сетки _x уменьшается вдвое, и мы говорим, что это метод первого порядка. Большинство используемых на практике FDM имеют точность как минимум второго порядка, за исключением очень особых обстоятельств. Метод конечных разностей по-прежнему остается самым популярным численным методом для решения уравнений в частных производных из-за их простоты, эффективности и низкой стоимости вычислений. Их главный недостаток заключается в их геометрической негибкости, что усложняет их приложения в общих сложных областях. Их можно смягчить, используя методы отображения и / или маскирования, чтобы согласовать вычислительную сетку с вычислительной областью.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов был разработан для решения проблем со сложными вычислительными областями. PDE сначала преобразуется в вариационную форму, которая, по сути, заставляет среднюю ошибку везде быть малой. На этапе дискретизации расчетная область разбивается на элементы треугольной или прямоугольной формы. Решение в каждом элементе интерполируется полиномом обычно низкого порядка. Опять же, неизвестные - это решение в точках коллокации. Сообщество CFD приняло метод FEM в 1980-х, когда были разработаны надежные методы решения проблем, связанных с адвекцией.

Спектральный метод

Как методы конечных элементов, так и методы конечных разностей являются методами низкого порядка, обычно 2–4-го порядка, и обладают свойством локальной аппроксимации. Под локальным мы подразумеваем, что на конкретную точку коллокации влияет ограниченное количество точек вокруг нее. Напротив, спектральный метод имеет свойство глобальной аппроксимации. Функции интерполяции, либо полиномы, либо тригономические функции, носят глобальный характер. Их основные преимущества заключаются в скорости сходимости, которая зависит от гладкости решения (т. Е. От того, сколько непрерывных производных оно допускает). Для бесконечно гладкого решения погрешность убывает экспоненциально, т.е. быстрее, чем алгебраическое. Спектральные методы в основном используются при расчетах однородной турбулентности и требуют относительно простой геометрии. В модели атмосферы также используются спектральные методы из-за их свойств сходимости и правильной сферической формы их расчетной области.

Метод конечных объемов

Методы конечного объема в основном используются в аэродинамика приложения, где происходят сильные удары и разрывы в растворе. Метод конечных объемов решает интегральную форму основных уравнений, поэтому свойство локальной непрерывности не должно соблюдаться.

Вычислительная стоимость

В ЦПУ Время решения системы уравнений существенно различается от метода к методу. Конечные разности обычно являются самыми дешевыми для каждой точки сетки, за которыми следуют метод конечных элементов и спектральный метод. Тем не менее, сравнение на основе точек сетки немного похоже на сравнение яблока и апельсина. Спектральные методы обеспечивают большую точность для каждой точки сетки, чем любой другой. МКЭ или же FDM. Сравнение будет более значимым, если вопрос будет сформулирован следующим образом: «Каковы вычислительные затраты для достижения заданного допуска к ошибкам?». Проблема сводится к определению меры погрешности, что в общих ситуациях является сложной задачей.

Прямое приближение Эйлера

{ displaystyle { frac {u ^ {n + 1} -u ^ {n}} { Delta t}} приблизительно kappa u ^ {n}}

Уравнение представляет собой явное приближение к исходному дифференциальному уравнению, поскольку нет информации о неизвестной функции в будущем (п + 1)_т был использован в правой части уравнения. Чтобы получить ошибку, допущенную в приближении, мы снова полагаемся на ряд Тейлора.

Обратная разница

Это пример неявного метода, поскольку неизвестное ты(п + 1) использовался при оценке наклона решения в правой части; это не проблема для решения ты(п + 1) в этом скалярном и линейном случае. Для более сложных ситуаций, таких как нелинейная правая часть или система уравнений, может потребоваться инвертировать нелинейную систему уравнений.