Огден (гиперупругая модель) - Ogden (hyperelastic model)

В Модель материала Огден это сверхупругий материал модель, используемая для описания нелинейного стресс –напряжение поведение сложных материалов, таких как резина, полимеры, и биологическая ткань. Модель разработана Раймонд Огден в 1972 г.^[1] Модель Огдена, как и другие сверхупругий материал модели, предполагает, что поведение материала можно описать с помощью функция плотности энергии деформации, из которого могут быть получены зависимости напряжения от деформации.

Модель материала Огден

В модели материала Огдена плотность энергии деформации выражается через основные участки ${displaystyle,! lambda _ {j}}$ , ${displaystyle,! j = 1,2,3}$ в качестве:

{displaystyle Wleft (lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} ight) = sum _ {p = 1} ^ {N} {frac {mu _ {p}} {alpha _ {p} }} слева (lambda _ {1} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {2} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {3} ^ {alpha _ {p}} - 3ight)}

куда ${displaystyle N}$ , ${displaystyle,! mu _ {p}}$ и ${displaystyle,! alpha _ {p}}$ материальные константы. В предположении несжимаемости можно переписать как

${displaystyle Wleft (lambda _ {1}, lambda _ {2} ight) = sum _ {p = 1} ^ {N} {frac {mu _ {p}} {alpha _ {p}}} left (lambda _ {1} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {2} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {1} ^ {- alpha _ {p}} lambda _ {2} ^ {- alpha _ {p}} - 3 ночи)}$

В общем, модуль сдвига получается из

${displaystyle 2mu = sum _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} alpha _ {p}.}$

С ${displaystyle N = 3}$ и путем подбора параметров материала можно очень точно описать поведение каучуков. Для конкретных значений материальных констант модель Огдена сводится либо к Неогукевское твердое тело ( ${displaystyle N = 1}$ , ${displaystyle alpha = 2}$ ) или Материал Муни-Ривлина ( ${displaystyle N = 2}$ , ${displaystyle alpha _ {1} = 2}$ , ${displaystyle alpha _ {2} = - 2}$ , с условием связи ${displaystyle lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} = 1}$ ).

Используя модель материала Огдена, три основных значения напряжений Коши теперь могут быть вычислены как

${displaystyle sigma _ {j} = - p + lambda _ {j} {frac {partial W} {partial lambda _ {j}}} = - p + sum _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p } лямбда _ {j} ^ {альфа _ {p}}}$ .

Одноосное растяжение

Теперь рассмотрим несжимаемый материал при одноосном растяжении, причем степень растяжения задается как ${displaystyle lambda = {frac {l} {l_ {0}}}}$ . Давление ${displaystyle p}$ определяется из несжимаемости и граничного условия ${displaystyle sigma _ {2} = sigma _ {3} = 0}$ , что дает:

${displaystyle sigma _ {1} = sum _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} left (lambda ^ {alpha _ {p} -1} -lambda ^ {- {frac {1} {2}) } альфа _ {p} -1} ight)}$ .

Равно-двухосное растяжение

Рассматривая несжимаемый материал при равно-двухосном растяжении, с ${displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = {frac {l} {l_ {0}}}}$ . Давление ${displaystyle p}$ определяется из несжимаемости, а граничное условие ${displaystyle sigma _ {3} = 0}$ , дает:

${displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {2} = sum _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} left (lambda ^ {alpha _ {p}} - lambda ^ {- 2alpha _ {p) }} ight)}$ .

Другие гиперупругие модели

Для резины и биологических материалов необходимы более сложные модели. Такие материалы могут демонстрировать нелинейное поведение напряжения-деформации при умеренных деформациях или быть упругими до огромных деформаций. Такое сложное нелинейное поведение напряжения-деформации необходимо согласовывать с помощью специально разработанных функций плотности энергии деформации.

Простейшей из этих гиперупругих моделей является модель Неогукевское твердое тело.

${displaystyle W (mathbf {C}) = {frac {mu} {2}} (I_ {1} ^ {C} -3)}$

куда ${displaystyle mu}$ - модуль сдвига, который может быть определен экспериментально. Из экспериментов известно, что для резиноподобных материалов при умеренной деформации до 30–70% модель Неогука обычно с достаточной точностью соответствует поведению материала. Для моделирования резины при высоких деформациях однопараметрическая модель Неогука заменяется более общими моделями, такими как Муни-Ривлин твердый где энергия деформации ${displaystyle W}$ является линейной комбинацией двух инвариантов

${displaystyle W (mathbf {C}) = {frac {mu _ {1}} {2}} left (I_ {1} ^ {C} -3ight) - {frac {mu _ {2}} {2}} слева (I_ {2} ^ {C} -3ight)}$

Материал Муни-Ривлина изначально также был разработан для резины, но сегодня часто применяется для моделирования (несжимаемой) биологической ткани. Для моделирования резиновых и биологических материалов при еще более высоких деформациях, более сложных Модель материала Огден была разработана.

Огден (гиперупругая модель) - Ogden (hyperelastic model)

Содержание

Модель материала Огден

Одноосное растяжение

Равно-двухосное растяжение

Другие гиперупругие модели

Рекомендации