P-адическая гамма-функция - P-adic gamma function

Классический гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению ${ Displaystyle Гамма (х + 1) = х Гамма (х)}$ для любого ${ Displaystyle х в mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}}$. Это имеет аналог по отношению к гамма-функции Морита:

${ displaystyle { frac { Gamma _ {p} (x + 1)} { Gamma _ {p} (x)}} = { begin {cases} -x, & { mbox {if}} x in mathbb {Z} _ {p} ^ { times} - 1, & { mbox {if}} x in p mathbb {Z} _ {p}. end {cases}}}$

В Формула отражения Эйлера ${ Displaystyle Gamma (x) Gamma (1-x) = { frac { pi} { sin {( pi x)}}}}$ имеет следующий простой аналог в п-адический случай:

${ Displaystyle Gamma _ {p} (x) Gamma _ {p} (1-x) = (- 1) ^ {x_ {0}},}$

куда ${ displaystyle x_ {0}}$ это первая цифра в п-адическое расширение Икс, пока не ${ displaystyle x in p mathbb {Z} _ {p}}$, в таком случае ${ displaystyle x_ {0} = p}$ скорее, чем 0.

Особые ценности

${ displaystyle Gamma _ {p} (0) = 1,}$

${ displaystyle Gamma _ {p} (1) = - 1,}$

${ displaystyle Gamma _ {p} (2) = 1,}$

${ Displaystyle Gamma _ {p} (3) = - 2,}$

и в целом

${ displaystyle Gamma _ {p} (n + 1) = { frac {(-1) ^ {n + 1} n!} {[n / p]! p ^ {[n / p]}}} quad (n geq 2).}$

В ${ Displaystyle х = { гидроразрыва {1} {2}}}$ гамма-функция Морита связана с ${ displaystyle left ({ frac {a} {p}} right)}$ Символ Лежандра:

${ displaystyle Gamma _ {p} left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2} = - left ({ frac {-1} {p}} right).}$

Также видно, что ${ displaystyle Gamma _ {p} (p ^ {n}) Equiv 1 { pmod {p ^ {n}}},}$ следовательно ${ displaystyle Gamma _ {p} (p ^ {n}) to 1}$ так как ${ displaystyle n to infty}$.^[1]:369

Другие интересные особые ценности исходят от Формула Гросса – Коблица, что впервые было доказано когомологический инструменты, а позже было доказано с помощью более элементарных методов.^[2] Например,

${ displaystyle Gamma _ {5} left ({ frac {1} {4}} right) ^ {2} = - 2 + { sqrt {-1}},}$

${ displaystyle Gamma _ {7} left ({ frac {1} {3}} right) ^ {3} = { frac {1-3 { sqrt {-3}}} {2}} ,}$

куда ${ displaystyle { sqrt {-1}} in mathbb {Z} _ {5}}$ обозначает корень с первой цифрой 3, а с ${ displaystyle { sqrt {-3}} in mathbb {Z} _ {7}}$ мы обозначаем корень первой цифрой 2. (Такие уточнения нужно делать всегда, если мы говорим о корнях.)

Другой пример

${ displaystyle Gamma _ {3} left ({ frac {1} {8}} right) Gamma _ {3} left ({ frac {3} {8}} right) = - ( 1 + { sqrt {-2}}),}$

куда ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$ квадратный корень из ${ displaystyle -2}$ в ${ displaystyle mathbb {Q} _ {3}}$ конгруэнтно 1 по модулю 3.^[3]

п-адическая формула Раабе

Формула Раабе для классического Гамма-функция Говорит, что

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma (x + t) dt = { frac {1} {2}} log (2 pi) + x log x-x.}$

Это имеет аналог для Логарифм Ивасавы гамма-функции Морита:^[4]

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} log Gamma _ {p} (x + t) dt = (x-1) ( log Gamma _ {p}) '(x ) -x + left lceil { frac {x} {p}} right rceil quad (x in mathbb {Z} _ {p}).}$

В функция потолка следует понимать как п-адический предел ${ displaystyle lim _ {n to infty} left lceil { frac {x_ {n}} {p}} right rceil}$ такой, что ${ displaystyle x_ {n} to x}$ через рациональные целые числа.

Расширение Малера

В Расширение Малера так же важно для п-адические функции как Расширение Тейлора в классическом анализе. Расширение Малера п-адическая гамма-функция следующая:^[1]:374

${ displaystyle Gamma _ {p} (x + 1) = sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} { binom {x} {k}},}$

где последовательность ${ displaystyle a_ {k}}$ определяется следующим тождеством:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k + 1} a_ {k} { frac {x ^ {k}} {k!}} = { frac { 1-x ^ {p}} {1-x}} exp left (x + { frac {x ^ {p}} {p}} right).}$

Смотрите также

• Формула Гросса – Коблица

Рекомендации

• Боярский, Маурицио (1980), "p-адические гамма-функции и когомологии Дворка", Труды Американского математического общества, 257 (2): 359–369, Дои:10.2307/1998301, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998301, Г-Н  0552263
• Даймонд, Джек (1977), "p-адическая лог-гамма-функция и p-адические константы Эйлера", Труды Американского математического общества, 233: 321–337, Дои:10.2307/1997840, ISSN  0002-9947, JSTOR  1997840, Г-Н  0498503
• Даймонд, Джек (1984), «p-адические гамма-функции и их приложения», в Чудновский, Давид В.; Чудновский, Григорий В .; Кон, Генри; и другие. (ред.), Теория чисел (Нью-Йорк, 1982), Конспект лекций по математике, 1052, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 168–175, Дои:10.1007 / BFb0071542, ISBN  978-3-540-12909-7, Г-Н  0750664
• Дворк, Бернард (1964), "О дзета-функции гиперповерхности. II", Анналы математики, Вторая серия, 80 (2): 227–299, Дои:10.2307/1970392, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970392, Г-Н  0188215
• Морита, Ясуо (1975), "p-адический аналог Γ-функции", Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика, 22 (2): 255–266, HDL:2261/6494, ISSN  0040-8980, Г-Н  0424762
• Оверхольцер, Гордон (1952), "Суммарные функции в элементарном p-адическом анализе", Американский журнал математики, 74 (2): 332–346, Дои:10.2307/2371998, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371998, Г-Н  0048493