Идеальное соответствие - Perfect matching

В теория графов, а идеальное соответствие в графе соответствие покрывающий каждую вершину графа. Более формально, учитывая график г = (V, E), идеальное совпадение в г это подмножество M из E, такая, что каждая вершина в V примыкает ровно к одному ребру в M.

Идеальное соответствие также называется 1-факторный; увидеть Факторизация графа для объяснения этого термина. В некоторой литературе термин полное соответствие используется.

Каждое идеальное совпадение - это сопоставление максимальной мощности, но обратное неверно. Например, рассмотрим следующие графики:^[1]

В графе (b) есть идеальное совпадение (размера 3), так как все 6 вершин совпадают; в графах (a) и (c) есть соответствие максимальной мощности (размера 2), которое не является идеальным, поскольку некоторые вершины не совпадают.

Идеальное сочетание - это также минимальный размер край крышки. Если есть идеальное совпадение, то и номер совпадения, и номер кромочного покрытия равны $| V | / 2$ .

Идеальное совпадение может произойти только в том случае, если граф имеет четное число вершин. А почти идеальное соответствие это тот, в котором ровно одна вершина не согласована. Это может произойти только тогда, когда на графике есть нечетное число вершин, и такое совпадение должно быть максимальным. На приведенном выше рисунке часть (c) показывает почти идеальное соответствие. Если для каждой вершины в графе существует почти идеальное соответствие, которое пропускает только эту вершину, граф также называется фактор критичный.

Характеристики

Теорема холла о браке обеспечивает характеристику двудольных графов, которые имеют идеальное соответствие.

В Теорема Тутте дает описание произвольных графов.

Идеальное совпадение - это охват 1-обычный подграф, a.k.a. a 1-факторный. В общем, охват k-регулярный подграф - это k-фактор.

Вычисление

Решить, допускает ли граф идеальное соответствие, можно за полиномиальное время, используя любой алгоритм нахождения максимальное соответствие количества элементов.

Однако подсчет количества идеальных совпадений даже в двудольные графы, является # P-complete. Это потому, что вычисление постоянный произвольной матрицы 0–1 (другая # P-полная проблема) - это то же самое, что вычисление числа точных паросочетаний в двудольном графе, имеющем данную матрицу в качестве своей матрица двойственности.

Замечательная теорема Кастелейн утверждает, что количество идеальных соответствий в планарный граф можно вычислить точно за полиномиальное время с помощью Алгоритм FKT.

Количество идеальных совпадений в полный график K_п (с участием п даже) дается двойной факториал: ${ Displaystyle (п-1) !!}$ ^[2]

Идеальный совпадающий многогранник

В идеальный совпадающий многогранник графа является многогранником в р^{| E |} в котором каждый угол представляет собой вектор инцидентности идеального совпадения.

Смотрите также

использованная литература

^ Алан Гиббонс, Алгоритмическая теория графов, Cambridge University Press, 1985, глава 5.
^ Каллан, Дэвид (2009), Комбинаторный обзор тождеств для двойного факториала, arXiv:0906.1317, Bibcode:2009arXiv0906.1317C.

[1] Алан Гиббонс, Алгоритмическая теория графов, Cambridge University Press, 1985, глава 5.

[2] Каллан, Дэвид (2009), Комбинаторный обзор тождеств для двойного факториала, arXiv:0906.1317, Bibcode:2009arXiv0906.1317C.

[1]

[2]