Идеальная теория препятствий - Википедия - Perfect obstruction theory

В алгебраической геометрии, учитывая Стек Делин-Мамфорд Икс, а идеальная теория препятствий за Икс состоит из:

а идеально двухчленный комплекс ${ displaystyle E = [E ^ {- 1} to E ^ {0}]}$ в производная категория ${ displaystyle D ({ text {Qcoh}} - { mathcal {O}} _ {X})}$ квазикогерентных этальных пучков на Икс, и
морфизм ${ displaystyle varphi: E to { textbf {L}} _ {X}}$ , куда ${ displaystyle { textbf {L}} _ {X}}$ это котангенс комплекс из Икс, что индуцирует изоморфизм на ${ displaystyle h ^ {0}}$ и эпиморфизм на ${ displaystyle h ^ {- 1}}$ .

Это понятие было введено (Беренд-Фантечи 1997 ) для приложения к теории пересечений на стеках модулей; в частности, чтобы определить виртуальный фундаментальный класс.

Примеры

Схемы

Рассмотрим регулярное вложение ${ displaystyle i: от Y до W}$ вписывается в декартов квадрат

{ displaystyle { begin {matrix} X & { xrightarrow {j}} & V g downarrow && downarrow f Y & { xrightarrow {i}} & W end {matrix}}}

куда ${ Displaystyle V, W}$ гладкие. Тогда комплекс

{ displaystyle E ^ { bullet} = [g ^ {*} N_ {Y / W} ^ { vee} to j ^ {*} Omega _ {V}]}

(в градусах

{ displaystyle -1,0}

)

формирует идеальную теорию препятствий для Икс.^[1] Карта происходит из композиции

{ displaystyle g ^ {*} N_ {Y / W} ^ { vee} to g ^ {*} i ^ {*} Omega _ {W} = j ^ {*} f ^ {*} Omega _ {W} к j ^ {*} Omega _ {V}}

Это идеальная теория препятствий, потому что в комплексе есть карта для ${ displaystyle mathbf {L} _ {X} ^ { bullet}}$ исходя из карт ${ displaystyle g ^ {*} mathbf {L} _ {Y} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {X} ^ { bullet}}$ и ${ displaystyle j ^ {*} mathbf {L} _ {V} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {X} ^ { bullet}}$ . Обратите внимание, что связанный виртуальный фундаментальный класс ${ displaystyle [X, E ^ { bullet}] = я ^ {!} [V]}$

Пример 1

Рассмотрим гладкое проективное многообразие ${ Displaystyle Y подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ . Если мы установим ${ Displaystyle V = W}$ , то идеальная теория препятствий в ${ Displaystyle D ^ {[- 1,0]} (X)}$ является

{ displaystyle [N_ {X / mathbb {P} ^ {n}} ^ { vee} to Omega _ { mathbb {P} ^ {n}}]}

и связанный виртуальный фундаментальный класс

{ displaystyle [X, E ^ { bullet}] = я ^ {!} [ mathbb {P} ^ {n}]}

В частности, если ${ displaystyle Y}$ является гладким локальным полным пересечением, то идеальной теорией препятствий является кокасательный комплекс (который совпадает с усеченным кокасательным комплексом).

Стеки Делиня-Мамфорда

Предыдущая конструкция также работает со стеками Делиня – Мамфорда.

Симметричная теория препятствий

По определению симметричная теория препятствий представляет собой совершенную теорию препятствий вместе с невырожденной симметричной билинейной формой.

Пример: пусть ж - регулярная функция на гладком многообразии (или стеке). Тогда множество критических точек ж каноническим образом несет в себе теорию симметричных препятствий.

Пример: пусть M - комплексное симплектическое многообразие. Тогда (теоретико-схемная) пересечение из Лагранжевы подмногообразия из M несет каноническую симметричную теорию препятствий.

Примечания

^ Беренд-Фантечи 1997, § 6

Смотрите также

[1] Беренд-Фантечи 1997, § 6

[1]