Теорема о пицце - Pizza theorem

8 секторов: желтая область = фиолетовая область

Доказательство без слов для 8 секторов по Картер и Вагон (1994a).

В элементарном геометрия, то теорема о пицце утверждает равенство двух областей, возникающих при разбиении диск в некотором роде.

Позволять п - внутренняя точка диска, и пусть п быть кратным 4 и больше или равным 8. Форма п секторов диска с равными углами, выбрав произвольную линию через п, вращая линию п/2 − 1 раз под углом 2 $π$ /п радианы, и разрезая диск на каждый из полученных п/2 линий. Пронумеруйте сектора последовательно по или против часовой стрелки. Тогда теорема о пицце утверждает, что:

Сумма площадей секторов с нечетными номерами равна сумме площадей секторов с четными номерами. (Аптон 1968 ).

Теорема о пицце называется так, потому что она имитирует традиционную пицца техника нарезки. Это показывает, что если два человека делят пиццу, нарезанную таким образом, чередуя кусочки, то каждый из них получает одинаковое количество пиццы.

История

Теорема о пицце была первоначально предложена как проблема Аптон (1967). Опубликованное решение этой проблемы Майклом Голдбергом включало прямую манипуляцию алгебраическими выражениями для площадей секторов.Картер и Вагон (1994a) предоставить альтернативное доказательство рассечение. Они показывают, как разделить секторы на более мелкие части, чтобы каждая часть в секторе с нечетным номером имела конгруэнтный кусок в четном секторе, и наоборот. Фредериксон (2012) дал семейство доказательств вскрытия для всех случаев (в которых количество секторов это 8, 12, 16, ...).

Обобщения

12 секторов: зеленая зона = оранжевая зона

Требование, чтобы количество секторов было кратным четырем, необходимо: Дон Копперсмит Как показано, разделение диска на четыре сектора или количество секторов, не делимое на четыре, в общем случае не дает равных площадей. Мабри и Дейерманн (2009) ответил на проблему Картер и Вагон (1994b) путем предоставления более точной версии теоремы, которая определяет, какой из двух наборов секторов имеет большую площадь в случаях, когда площади неравны. В частности, если количество секторов равно 2 (mod 8) и ни один срез не проходит через центр диска, то подмножество срезов, содержащее центр, имеет меньшую площадь, чем другое подмножество, а если количество секторов равно 6 (mod 8) и ни один срез не проходит через центр, тогда подмножество срезов, содержащее центр, имеет большую площадь. Нечетное количество секторов невозможно при прямолинейных разрезах, а разрез через центр приводит к тому, что два подмножества становятся равными независимо от количества секторов.

Мабри и Дейерманн (2009) также обратите внимание на то, что, когда пицца разделена равномерно, то же самое и с ее коркой (корку можно интерпретировать либо как периметр диска, либо как область между границей диска и меньшим кругом, имеющим тот же центр, с разрезом -точка, лежащая внутри последней), и поскольку диски, ограниченные обеими окружностями, разделены равномерно, то и разница между ними. Однако, когда пицца делится неравномерно, тот, кто получает больше всего пиццы, на самом деле получает меньше всего корочки.

В качестве Hirschhorn et al. (1999) обратите внимание, равное разделение пиццы также приводит к равному разделению ее начинки, если каждая начинка распределена на диске (не обязательно концентрично со всей пиццей), который содержит центральную точку п разделения на сектора.

Связанные результаты

Hirschhorn et al. (1999) покажите, что пицца разрезана так же, как и в теореме о пицце, на число п секторов с равными углами, где п делится на четыре, также может делиться поровну между п/4 человека. Например, пицца, разделенная на 12 секторов, может быть разделена поровну как тремя людьми, так и двумя; однако, чтобы вместить все пять Хиршхорнов, пиццу необходимо разделить на 20 секторов.

Cibulka et al. (2010) и Knauer, Micek & Ueckerdt (2011) изучить теория игры выбора бесплатных кусочков пиццы, чтобы гарантировать большую долю, - проблема, поставленная Дэном Брауном и Питер Винклер. В изучаемой ими версии задачи пицца нарезается радиально (без гарантии наличия секторов с равным углом), и двое посетителей поочередно выбирают кусочки пиццы, прилегающие к уже съеденному участку. Если двое посетителей пытаются увеличить количество пиццы, которое они съедают, посетитель, который берет первый кусок, может гарантировать 4/9 доли от общего количества пиццы, а пицца нарезана так, что он не может взять больше. В справедливое разделение или задача разрезания торта рассматривает аналогичные игры, в которых разные игроки используют разные критерии для определения размера своей доли; например, один посетитель может предпочесть съесть больше пепперони, а другой - больше сыра.

Смотрите также

Другие математические результаты, относящиеся к нарезке пиццы, включают последовательность ленивого кейтеринга, последовательность целых чисел, которая подсчитывает максимальное количество кусочков пиццы, которое можно получить заданным количеством прямых ломтиков, и теорема о сэндвиче с ветчиной, результат нарезки трехмерных объектов, двумерная версия которых подразумевает, что любая пицца, независимо от ее деформации, может иметь свою площадь и длину корки одновременно пополам одним тщательно подобранным разрезом по прямой линии, и трехмерная версия которой подразумевает, что существует плоский разрез, в котором поровну разделяются база, помидор и сыр.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о пицце". MathWorld.
Силлке, Торстен, Теорема о пицце, получено 2009-11-24