Плоская пластинка - Planar lamina

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Плоская пластинка»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Октябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а плоская пластинка это закрытый набор в плоскости массы ${ displaystyle m}$ и поверхностная плотность ${ Displaystyle rho (х, у)}$ такой, что:

${ Displaystyle м = int int _ {} {} rho (x, y) , dx , dy}$, над закрытый набор.

Плоские пластинки можно использовать для определения моменты инерции, или же центр массы.

Характеристики

Центр масс пластинки находится в точке

${ displaystyle left ({ frac {M_ {y}} {m}}, { frac {M_ {x}} {m}} right)}$

куда ${ displaystyle M_ {y}}$ момент всей пластинки относительно оси y и ${ displaystyle M_ {x}}$ момент всей пластинки относительно оси абсцисс:

${ displaystyle M_ {y} = lim _ {m, n to infty} , sum _ {i = 1} ^ {m} , sum _ {j = 1} ^ {n} , x {_ {ij}} ^ {*} , rho (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) , Delta mathrm {A} = iint _ {} {} x , rho (x, y) , dx , dy}$, по замкнутой поверхности.

${ displaystyle M_ {x} = lim _ {m, n to infty} , sum _ {i = 1} ^ {m} , sum _ {j = 1} ^ {n} , y {_ {ij}} ^ {*} , rho (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) , Delta mathrm {A} = iint _ {} {} y , rho (x, y) , dx , dy}$, по замкнутой поверхности.

Пример

Найдите центр масс пластинки, края которой обозначены линиями ${ displaystyle x = 0,}$ ${ displaystyle y = x}$ и ${ Displaystyle у = 4-х}$ где плотность задается как ${ Displaystyle rho (х, у) , = 2х + 3у + 2}$.

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} { int _ {x} ^ {4-x}} _ {} {} , (2x + 3y + 2) , dy , dx}$

Интегрируем 2x + 3y + 2 относительно y и подставляем пределы 4-x и x

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} left (2xy + { frac {3y ^ {2}} {2}} + 2y right) { Bigg |} _ {x} ^ {4 -x} , dx}$

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} left ({ Big [} 2x (4-x) + { frac {3 (4-x) ^ {2}} {2}} + 2 (4-x) { Big]} - { Big [} 2x (x) + { frac {3 (x) ^ {2}} {2}} + 2 (x) { Big]} вправо) , dx}$

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} left (8x-2x ^ {2} + { frac {3x ^ {2} -24x + 48} {2}} + 8-2x-2x ^ {2} - { frac {3x ^ {2}} {2}} - 2x right) , dx}$

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} left (8x-2x ^ {2} + { frac {3} {2}} x ^ {2} -12x + 24 + 8-2x- 2x ^ {2} - { frac {3} {2}} x ^ {2} -2x right) , dx}$

${ displaystyle m = int _ {0} ^ {2} (- 4x ^ {2} -8x + 32) , dx}$

${ displaystyle m = left (- { frac {4x ^ {3}} {3}} - 4x ^ {2} + 32x right) { Bigg |} _ {0} ^ {2}}$

${ displaystyle m = { frac {112} {3}}}$

${ displaystyle M_ {y} = int _ {0} ^ {2} { int _ {x} ^ {4-x}} {} {} x , (2x + 3y + 2) , dy , dx}$

${ displaystyle M_ {y} = int _ {0} ^ {2} left (2x ^ {2} y + { frac {3xy ^ {2}} {2}} + 2xy right) { Bigg | } _ {x} ^ {4-x} , dx}$

${ displaystyle M_ {y} = int _ {0} ^ {2} (- 4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x) , dx}$

${ displaystyle M_ {y} = left (-x ^ {4} - { frac {8x ^ {3}} {3}} + 16x ^ {2} right) { Bigg |} _ {0} ^ {2}}$

${ displaystyle M_ {y} = { frac {80} {3}}}$

${ displaystyle M_ {x} = int _ {0} ^ {2} { int _ {x} ^ {4-x}} {} {} y , (2x + 3y + 2) , dy , dx}$

${ displaystyle M_ {x} = int _ {0} ^ {2} (xy ^ {2} + y ^ {3} + y ^ {2}) { Big |} _ {x} ^ {4- х} , dx}$

${ displaystyle M_ {x} = int _ {0} ^ {2} (- 2x ^ {3} + 4x ^ {2} -40x + 80) , dx}$

${ displaystyle M_ {x} = left (- { frac {x ^ {4}} {2}} + { frac {4x ^ {3}} {3}} - 20x ^ {2} + 80x справа) { Bigg |} _ {0} ^ {2}}$

${ displaystyle M_ {x} = { frac {248} {3}}}$

центр масс находится в точке

${ displaystyle left ({ frac { frac {80} {3}} { frac {112} {3}}}, { frac { frac {248} {3}} { frac {112}) {3}}} right) = left ({ frac {5} {7}}, { frac {31} {14}} right)}$

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.