Полиномиальное совместное измерение - Polynomial conjoint measurement

Полиномиальное совместное измерение является продолжением теория совместного измерения к трем или более атрибутам. Первоначально он был разработан математическими психологами Дэвидом Кранцем (1968) и Амос Тверски (1967). Теория получила всестороннее математическое изложение в первом томе Основы измерения (Кранц, Люс, Суппес и Тверски, 1971), которую Кранц и Тверски написали в сотрудничестве с математическим психологом. Р. Дункан Люс и философ Патрик Суппес. Кранц и Тверски (1971) также опубликовали в журнале нетехническую статью о полиномиальном совместном измерении для бихевиористов. Психологический обзор.

Как и в случае теории совместного измерения, значение полиномиального совместного измерения заключается в количественной оценке естественных атрибутов в отсутствие операций конкатенации. Полиномиальное совместное измерение отличается от случая с двумя атрибутами, открытого Люсом и Тьюки (1964), тем, что в нем задействованы более сложные правила композиции.

Полиномиальное совместное измерение

Схема Кранца (1968)

Большинство научных теорий включают в себя более двух атрибутов; и, таким образом, случай совместного измерения с двумя переменными имеет довольно ограниченную область применения. Более того, вопреки теории п - компонентное совместное измерение, многие атрибуты являются неаддитивными композициями других атрибутов (Krantz, et al., 1971). Кранц (1968) предложил общую схему, чтобы установить достаточный набор аксиом сокращения для класса правил полиномиальной комбинации, который он назвал простые полиномы. Формальное определение этой схемы, данное Кранцем и др. (1971, стр. 328), выглядит следующим образом.

Позволять ${displaystyle Y = {ig {} y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {n} {ig}}}$. Набор ${displaystyle Sleft (Yight)}$ это наименьший набор простых многочленов такой, что:

• ${displaystyle y_ {i} в Sleft (Yight), i = 1, ldots, n}$;
• ${displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} подмножество Y}$ такой, что ${displaystyle Y_ {1} cap Y_ {2} = varnothing, G_ {1} в Sleft (Y_ {1} ight)}$ и ${displaystyle G_ {2} в Sleft (Y_ {2} ight)}$, тогда ${displaystyle G_ {1} + G_ {2},}$ и ${displaystyle G_ {1} G_ {2},}$ находятся в ${displaystyle Sleft (Yight)}$.

Неформально схема утверждает: а) отдельные атрибуты - это простые многочлены; б) если грамм₁ и грамм₂ простые многочлены, которые не пересекаются (т.е. не имеют общих атрибутов), то грамм₁ + грамм₂ и грамм₁ ${displaystyle imes}$ грамм₂ простые многочлены; и c) никакие полиномы не являются простыми, за исключением случаев, указанных в пунктах a) и b).

Позволять А, п и U быть отдельными непересекающимися атрибутами. Из схемы Кранца (1968) следует, что существуют четыре класса простых многочленов от трех переменных, которые содержат в общей сложности восемь простых многочленов:

• Добавка: ${displaystyle A + P + U,}$;
• Распределительный: ${displaystyle left (A + Pight) U,}$; плюс 2 других, полученных путем обмена А, п и U;
• Двойной дистрибутив: ${displaystyle AP + U,}$ плюс 2 других, как указано выше;
• Мультипликативный: ${displaystyle APU,}$.

Схема Кранца (1968) может использоваться для построения простых многочленов от большего числа атрибутов. Например, если D - одна переменная, не пересекающаяся с A, B и C, тогда три класса простых многочленов от четырех переменных - это A + B + C + D, D + (B + AC) и D + ABC. Эту процедуру можно использовать для любого конечного числа переменных. Простой тест заключается в том, что простой многочлен можно «разбить» на произведение или сумму двух меньших непересекающихся простых многочленов. Эти полиномы можно далее «разбивать», пока не будут получены отдельные переменные. Выражение, не поддающееся «расщеплению» таким образом, не является простым многочленом (например, AB + BC + AC (Krantz & Tversky, 1971)).

Аксиомы

Позволять ${displaystyle A = {ig {} a, b, c, ldots {ig}}}$, ${displaystyle P = {ig {} p, q, r, ldots {ig}}}$ и ${displaystyle U = {ig {} u, v, w, ldots {ig}}}$ непустые и непересекающиеся множества. Позволять " ${displaystyle succsim}$ «быть простым порядком. Кранц и др. (1971) утверждали, что ${displaystyle Z = langle A, P, U, succsim angle}$ это полиномиальная соединенная система тогда и только тогда, когда выполняются следующие аксиомы.

• СЛАБЫЙ ЗАКАЗ.
• ЕДИНАЯ ОТМЕНА. Соотношение " ${displaystyle succsim}$ "удовлетворяет единовременное аннулирование при А в любое время ${displaystyle left (a, p, uight) succsim left (b, p, uight)}$ если и только если ${displaystyle left (a, q, vight) succsim left (b, q, vight)}$ относится ко всем ${displaystyle a, bin A; p, qin P}$ и ${displaystyle u, vin U}$. Однократная отмена при п и U аналогично определяется.
• ДВОЙНАЯ ОТМЕНА. Соотношение " ${displaystyle succsim}$ " на ${displaystyle A imes P}$ удовлетворяет двойному аннулированию тогда и только тогда, когда для всех ${displaystyle a, b, cin A}$ и ${displaystyle p, q, rin P}$, ${displaystyle left (a, q, uight) succsim left (b, p, uight)}$ и ${displaystyle left (b, r, uight) succsim left (c, q, uight)}$ следовательно ${displaystyle left (a, r, uight) succsim left (c, p, uight)}$ верно для всех ${displaystyle uin U}$. Аналогично условие выполняется для ${displaystyle A imes U}$ и ${displaystyle U imes P}$.
• СОВМЕСТНОЕ ЕДИНОЕ ОТМЕНА. Соотношение " ${displaystyle succsim}$ " на ${displaystyle A imes P}$ удовлетворяет совместное однократное аннулирование таким образом, что ${displaystyle left (a, p, uight) succsim left (b, q, uight)}$ если и только если ${displaystyle left (a, p, vight) succsim left (b, q, vight)}$ верно для всех ${displaystyle a, bin A; p, qin P}$ и ${displaystyle u, vin U}$. Совместная независимость определяется аналогично для ${displaystyle A imes U}$ и ${displaystyle U imes P}$.
• ДИСТРИБУТИВНАЯ ОТМЕНА. Отмена распределения сохраняется на ${displaystyle A imes P imes U}$ если и только если ${displaystyle left (a, p, uight) succsim left (c, r, vight)}$, ${displaystyle left (b, q, uight) succsim left (d, s, vight)}$ и ${displaystyle left (d, r, vight) succsim left (b, p, uight)}$ подразумевает ${displaystyle left (a, q, uight) succsim left (c, s, vight)}$ верно для всех ${displaystyle a, b, c, din A; p, q, r, sin P}$ и ${displaystyle u, vin U}$.
• ДВОЙНОЕ ДИСТРИБЬЮТИВНОЕ ОТМЕНА. Отмена двойного распределения действует на ${displaystyle A imes P imes U}$ если и только если

${displaystyle left (a, r, wight) succsim left (c, s, vight)}$, ${displaystyle left (d, p, uight) succsim left (b, t, xight)}$, ${displaystyle left (d, r, xight) succsim left (e, s, uight)}$ и ${displaystyle left (c, t, yight) succsim left (d, q, yight)}$ подразумевает ${displaystyle left (a, p, vight) succsim left (b, q, wight)}$ верно для всех ${displaystyle a, b, c, d, ein A; p, q, r, s, tin P}$ и ${displaystyle u, v, w, x, yin U}$.

• РАЗРЕШИМОСТЬ. Соотношение " ${displaystyle succsim}$ " на ${displaystyle A imes P imes U}$ разрешимо тогда и только тогда, когда для всех ${displaystyle a, bin A; p, qin P}$ и ${displaystyle u, vin U}$, Существует ${displaystyle cin A; rin P}$ и ${displaystyle win U}$ такой, что ${displaystyle asim left (b, q, wight) sim left (b, r, vight) sim left (c, q, vight)}$.
• АРХИМЕДОВСКОЕ СОСТОЯНИЕ.

Теоремы представления

Четырехместный ${displaystyle Z = langle A, P, U, succsim angle}$ попадает в один класс трех переменных простых многочленов в силу аксиомы совместного однократного сокращения.

Рекомендации

• Кранц, Д. Х. (1968). Обзор теории измерений. В Г. Б. Данциге и А. Ф. Вейнотте (ред.), Математика принятия решений, часть 2 (стр. 314–350). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Krantz, D. H .; Luce, R.D .; Суппес П. и Тверски А. (1971). Основы измерения, Vol. I: Аддитивные и полиномиальные представления. Нью-Йорк: Academic Press.
• Кранц, Д. Х. и Тверски, А. (1971). Анализ совместных измерений правил композиции в психологии. Психологический обзор, 78, 151–169.
• Люс Р. Д. и Тьюки Дж. У. (1964). Одновременное совместное измерение: новый масштабный тип фундаментального измерения. Журнал математической психологии, 1, 1–27.
• Тверски, А. (1967). Общая теория полиномиального совместного измерения. Журнал математической психологии, 4, 1–20.