Картофельный парадокс - Википедия - Potato paradox

Белый картофель на 79% состоит из воды,^[1] агар на 99% состоит из воды.^[2]

В картофельный парадокс представляет собой математический расчет, который дает противоречивый результат. Универсальная книга математики заявляет о проблеме как таковой:

Фред приносит домой 100 кг картофеля, который (будучи чисто математическим картофелем) на 99% состоит из воды. Затем он оставляет их на ночь на улице, чтобы они на 98% состояли из воды. Какой у них новый вес? Удивительный ответ - 50 кг.^[3]

В Классификация парадоксов Куайна, картофельный парадокс - это достоверный парадокс.

Простые объяснения

Способ 1

Одно из объяснений начинается с того, что изначально вес без воды составляет 1 кг, что составляет 1% от 100 кг. Затем спрашивают: 1 кг - это 2% от того, сколько кг? Чтобы этот процент был вдвое больше, общий вес должен быть вдвое меньше.

Способ 2

Визуализация, где синие прямоугольники представляют килограммы воды, а оранжевые квадраты - килограммы твердого картофельного вещества. Слева до обезвоживания: 1 кг вещества, 99 кг воды (99% воды). Середина: 1 кг вещества, 49 кг воды (98% воды).

В начале (левый рисунок) 1 часть не воды и 99 частей воды. Это 99% воды, или соотношение без воды к воде 1:99. Чтобы удвоить соотношение безводной воды к воде до 1:49, сохраняя при этом одну часть безводной, количество воды необходимо уменьшить до 49 частей (средний рисунок). Это эквивалентно 2 части безводного продукта на 98 частей воды (98% воды) (правый рисунок).

В 100 кг картофеля 99% воды (по весу) означает, что содержится 99 кг воды и 1 кг твердых веществ. Это соотношение 1:99.

Если процентное содержание уменьшается до 98%, то теперь на долю твердых веществ должно приходиться 2% веса: соотношение 2:98 или 1:49. Поскольку твердые частицы все еще весят 1 кг, вода должна весить 49 кг, чтобы получить в сумме 50 кг.

Объяснения с использованием алгебры

Способ 1

После испарения воды оставшееся общее количество, ${ displaystyle x}$, содержит 1 кг чистого картофеля и (98/100) x воды. Уравнение становится:

${ displaystyle { begin {align} 1 + { frac {98} {100}} x & = x Longrightarrow 1 & = { frac {1} {50}} x end {align}}}$

в результате чего ${ displaystyle x}$ = 50 кг.

Способ 2

Вес воды в свежем картофеле ${ displaystyle 0.99 cdot 100}$.

Если ${ displaystyle x}$ это вес воды, потерянной картофелем при обезвоживании ${ Displaystyle 0,98 (100-х)}$ - вес воды в обезвоженном картофеле. Следовательно:

${ Displaystyle 0,99 cdot 100-0,98 (100-х) = х}$

Раскрывающие скобки и упрощение

${ displaystyle { begin {align} 99- (98-0,98x) & = x 99-98 + 0,98x & = x 1 + 0,98x & = x end {align}}}$

Вычитая меньшее ${ displaystyle x}$ срок с каждой стороны

${ displaystyle { begin {align} 1 + 0,98x-0,98x & = x-0,98x 1 & = 0,02x end {align}}}$

Что дает потерянную воду как:

${ displaystyle 50 = x}$

И сухой вес картофеля как:

${ displaystyle 100-x = 100-50 = 50}$

Способ 3

После обезвоживания картофель на 98% состоит из воды.

Это означает, что процентное содержание безводного веса картофеля составляет ${ displaystyle (1-.98)}$.

Если x - вес картофеля после обезвоживания, то:

${ displaystyle { begin {align} (1–0,98) x & = 1 . 02x & = 1 x & = { frac {1} {. 02}} x & = 50 end {align}} }$

Последствия

Ответ тот же, если удвоить концентрацию неводной части. Например, если изначально картофель на 99,999% состоял из воды, уменьшение процента до 99,998% все равно потребует уменьшения веса вдвое.

Языковой парадокс

Из первоначального запроса мы представляем, что уменьшаем вес на 1%. Это не тот случай. Если бы это было так, мы были бы правы, если бы у нас было 99 кг картофеля (99,01 кг, если уменьшить 1% от 99 кг воды; 99 кг, если уменьшить общий вес на 1%, удалив 1 кг воды - как его формулировка имеет значение!). Но уменьшение количества воды до 98% от всего нового веса картофеля означает, что мы удаляем половину (на самом деле чуть больше половины - 50/99) воды, так что сухие вещества картофеля составляют 2% от общего веса. масса. Таким образом, парадокс заключается не в математике, а в нашем понимании языка, используемого для определения вопроса. Необходимо использовать осторожные формулировки, чтобы убедиться, что "парадокс" верен.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Картофельный парадокс». MathWorld.