Состояние Прандтля - Prandtl condition

В Состояние Прандтля предложил немецкий физик Людвиг Прандтль выявить возможные точки отрыва пограничного слоя несжимаемых течений.^[1]

Состояние Прандтля - нормальный шок

В случае нормального скачка уплотнения предполагается, что поток находится в установившемся состоянии, а толщина скачка очень мала. Кроме того, предполагается, что на ударе нет трения или потерь тепла (поскольку теплопередача незначительна, поскольку происходит на относительно небольшой поверхности). В этом поле принято обозначать x как верхний по потоку и y как нижний по потоку. Поскольку массовый расход с двух сторон скачка уплотнения постоянен, баланс массы становится равным

${ Displaystyle rho _ {x} .U_ {x} = rho _ {y} .U_ {y}}$

Поскольку внешняя сила не применяется, импульс сохраняется, что приводит к уравнению

${ displaystyle P_ {x} -P_ {y} = rho _ {x} .U_ {x} ^ {2} - rho _ {y} .U {y} ^ {2}}$

Поскольку тепловой поток незначителен, процесс можно рассматривать как адиабатический. Таким образом, уравнение энергии будет

${ displaystyle C_ {p} .T_ {x} + { frac {U_ {x} ^ {2}} {2}} = C_ {p} .T_ {y} + { frac {U_ {y} ^ {2}} {2}}}$

Из уравнения состояния идеального газа P = ρRT

Поскольку температура с обеих сторон скачка уплотнения прекращается, скорость звука в этих прилегающих средах различна. Поэтому удобно определить звездное число Маха, которое не будет зависеть от конкретного числа Маха. Исходя из звездных условий, скорость звука в критическом состоянии также может быть хорошей эталонной скоростью. Скорость звука при этой температуре равна,

${ displaystyle c ^ {*} = { sqrt {kRT ^ {*}}}}$

И дополнительное число Маха, которое не зависит от конкретного числа Маха, равно

${ displaystyle M ^ {*} = { frac {U} {c ^ {*}}} = { frac {cM} {c ^ {*}}}}$

Поскольку энергия остается постоянной в толчке,

${ displaystyle { frac {c ^ {2}} {k-1}} + { frac {U ^ {2}} {2}} = { frac {c ^ {* ^ {2}}} { k-1}} + { frac {c ^ {* ^ {2}}} {2}} = { frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} {2 (k-1 )}}}$

разделив уравнение массы на уравнение количества движения, мы получим

${ displaystyle { frac {c_ {1} ^ {2}} {kU_ {1}}} + U_ {1} = { frac {c_ {2} ^ {2}} {kU_ {2}}} + U_ {2}}$

Из приведенных выше уравнений,

${ displaystyle { frac {1} {kU_ {1}}} [{ frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} {2}} - { frac {(k-1) U_ {1}} {2}}] + U_ {1} = { frac {1} {kU_ {2}}} [{ frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} { 2}} - { frac {(k-1) U_ {2}} {2}}] + U_ {2}}$

это даст рост

${ displaystyle U_ {1} .U_ {2} = a ^ {* ^ {2}}}$

Это называется состоянием Прандтля при нормальном шоке.

Рекомендации