Прегауссский класс - Pregaussian class

В теория вероятности, а прегауссовский класс или же прегауссовский набор of functions - это набор функций, квадратично интегрируемый в отношении некоторых вероятностная мера, такое, что существует определенный Гауссовский процесс, индексируемый этим набором, удовлетворяющий приведенным ниже условиям.

Определение

Для вероятностное пространство (S, Σ, п), обозначим через ${displaystyle L_ {P} ^ {2} (S)}$ а набор квадратично интегрируемой по п функции ${displaystyle f: S o R}$ , то есть

{displaystyle int f ^ {2}, dP

Рассмотрим набор ${displaystyle {mathcal {F}} подмножество L_ {P} ^ {2} (S)}$ . Существует Гауссовский процесс ${displaystyle G_ {P}}$ , проиндексировано ${displaystyle {mathcal {F}}}$ , со средним 0 и ковариацией

{displaystyle operatorname {Cov} (G_ {P} (f), G_ {P} (g)) = EG_ {P} (f) G_ {P} (g) = int fg, dP-int f, dPint g, dP {ext {for}} f, gin {mathcal {F}}}

Такой процесс существует потому, что данная ковариация положительно определена. Эта ковариация определяет полу-внутренний продукт, а также псевдометрический на ${displaystyle L_ {P} ^ {2} (S)}$ данный

{displaystyle varrho _ {P} (f, g) = (E (G_ {P} (f) -G_ {P} (g)) ^ {2}) ^ {1/2}}

Определение Класс ${displaystyle {mathcal {F}} подмножество L_ {P} ^ {2} (S)}$ называется прегауссский если для каждого ${displaystyle omega на S,}$ функция ${displaystyle fmapsto G_ {P} (f) (omega)}$ на ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ограничен, ${displaystyle varrho _ {P}}$ -равномерно непрерывный и предлинейный.

Броуновский мост

В ${displaystyle G_ {P}}$ процесс является обобщением Брауновский мост. Учитывать ${displaystyle S = [0,1],}$ с п будучи единообразная мера. В этом случае ${displaystyle G_ {P}}$ процесс индексируется индикаторные функции ${displaystyle I _ {[0, x]}}$ , за ${displaystyle xin [0,1],}$ на самом деле стандарт Брауновский мост B(Икс). Этот набор функций индикатора является прегауссовым, кроме того, это Донскер класс.

Прегауссский класс - Pregaussian class

Определение

Броуновский мост

Рекомендации