В парное производство, фотон создает пару электрон-позитрон. В процессе рассеяния фотонов в воздуха (например, в молния разрядов), наиболее важным взаимодействием является рассеяние фотонов на ядрах атомы или же молекулы. Полный квантово-механический Процесс образования пар можно описать приведенным здесь четырехкратным дифференциальным сечением:[1]
![{ begin {align} d ^ {4} sigma & = { frac {Z ^ {2} alpha _ {{ textrm {fine}}} ^ {3} c ^ {2}} {(2 pi) ^ {2} hbar}} | { mathbf {p}} _ {+} || { mathbf {p}} _ {-} | { frac {dE _ {+}} { omega ^ { 3}}} { frac {d Omega _ {+} d Omega _ {-} d Phi} {| { mathbf {q}} | ^ {4}}} times & times left [- { frac {{ mathbf {p}} _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {-}} {(E _ {-} - c | { mathbf {p}) } _ {-} | cos Theta _ {-}) ^ {2}}} left (4E _ {+} ^ {2} -c ^ {2} { mathbf {q}} ^ {2} справа) right. & - { frac {{ mathbf {p}} _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}} {(E _ {+} - c | { mathbf {p}} _ {+} | cos Theta _ {+}) ^ {2}}} left (4E _ {-} ^ {2} -c ^ {2} { mathbf {q} } ^ {2} right) & + 2 hbar ^ {2} omega ^ {2} { frac {{ mathbf {p}} _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} + { mathbf {p}} _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {-}} {(E _ {+} - c | { mathbf {p} } _ {+} | cos Theta _ {+}) (E _ {-} - c | { mathbf {p}} _ {-} | cos Theta _ {-})}} & + 2 left. { Frac {| { mathbf {p}} _ {+} || { mathbf {p}} _ {-} | sin Theta _ {+} sin Theta _ {-} cos Phi} {(E _ {+} - c | { mathbf {p}} _ {+} | cos Theta _ {+}) (E _ {-} - c | { mathbf {p}} _ {-} | cos Theta _ {-})}} left (2E _ {+} ^ {2} + 2E _ {-} ^ {2} -c ^ {2} { mathbf {q}} ^ {2} right) right]. конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096458d01cf33067dda220a05466e29836b2d565)
с
![{ begin {выровнено} d Omega _ {+} & = sin Theta _ {+} d Theta _ {+}, d Omega _ {-} & = sin Theta _ {- } d Theta _ {-}. end {выравнивается}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325ba05c5daa1378705e1b89ac03f3bedff2783d)
Это выражение можно получить, используя квантово-механическую симметрию между рождением пар и Тормозное излучение.
это атомный номер,
то постоянная тонкой структуры,
сокращенный Постоянная Планка и
то скорость света. Кинетические энергии
позитрона и электрона относятся к их полной энергии
и импульсы
через
![E _ {{+, -}} = E _ {{kin, + / -}} + m_ {e} c ^ {2} = { sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + { mathbf {p}} _ {{+, -}} ^ {2} c ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10b4d5a100b3696d7923bfbbbc279600868f046)
Сохранение энергии дает
![hbar omega = E _ {{+}} + E _ {{-}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887b953c2fc1b5249f91a8b118d92b30bfd2f2bb)
Импульс
из виртуальный фотон между падающим фотоном и ядром составляет:
![{ begin {align} - { mathbf {q}} ^ {2} & = - | { mathbf {p}} _ {+} | ^ {2} - | { mathbf {p}} _ {- } | ^ {2} - left ({ frac { hbar} {c}} omega right) ^ {2} +2 | { mathbf {p}} _ {+} | { frac { hbar} {c}} omega cos Theta _ {+} + 2 | { mathbf {p}} _ {-} | { frac { hbar} {c}} omega cos Theta _ { -} & - 2 | { mathbf {p}} _ {+} || { mathbf {p}} _ {-} | ( cos Theta _ {+} cos Theta _ {-} + sin Theta _ {+} sin Theta _ {-} cos Phi), end {выравнивается}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6505531b6971e8cc19d78cbaaae699d1523d79)
где направления задаются через:
![{ begin {align} Theta _ {+} & = sphericalangle ({ mathbf {p}} _ {+}, { mathbf {k}}), Theta _ {-} & = sphericalangle ({ mathbf {p}} _ {-}, { mathbf {k}}), Phi & = { text {Угол между плоскостями}} ({ mathbf {p}} _ {+} , { mathbf {k}}) { text {and}} ({ mathbf {p}} _ {-}, { mathbf {k}}), end {align}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91547e0e6f77bb609bfcf72c04a9dfbcc72bfe7e)
куда
- импульс падающего фотона.
Чтобы проанализировать связь между энергией фотона
и угол вылета
между фотоном и позитроном, Кён и Эберт интегрировали [2] четырехкратное дифференциальное сечение по
и
. Двойное дифференциальное сечение:
![{ begin {align} { frac {d ^ {2} sigma (E _ {+}, omega, Theta _ {+})} {dE _ {+} d Omega _ {+}}} = сумма limits _ {{j = 1}} ^ {{6}} I_ {j} end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec308917ec9a22a3dc0b6323256052c755702dc)
с
![{ begin {align} I_ {1} & = { frac {2 pi A} {{ sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+ } ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}}}} & times ln left ({ frac {( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} ( Delta _ {1} ^ {{(p)}} + Delta _ {2} ^ {{(p)}}) + Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ {{(p)}}} {- ( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ { 2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} ( Delta _ {1} ^ {{(p)}} - Delta _ {2} ^ {{(p)}}) + Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ {{(p)}}}} right) & times left [-1 - { frac {c Delta _ {2} ^ {{(p)}}} {p _ {-} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+})}} + { frac {p _ {+} ^ {2 } c ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}} {(E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}) ^ {2}}} - { frac { 2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {-} Delta _ {2} ^ {{(p)}}} {c (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ { +}) (( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+})}} right], I_ {2} & = { frac {2 pi Ac} {p _ {-} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+} ) }} ln left ({ frac {E _ {-} + p _ {-} c} {E _ {-} - p _ {-} c}} right), I_ {3} & = { frac {2 pi A} {{ sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c ) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}}}} & times ln { Bigg (} { Big (} (E _ {-} + p _ {-} c) (4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} (E _ {-} - p _ {-} c) + ( Delta _ {1} ^ {{(p)}} + Delta _ {2} ^ {{(p)}}) (( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) & - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}})) { Big)} { Big (} (E _ {- } -p _ {-} c) (4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} (- E _ {-} - p _ {-} c) & + ( Delta _ {1} ^ {{(p)}} - Delta _ {2} ^ {{(p)}}) (( Delta _ {2} ^ {{(p)} } E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ { 2} sin ^ {2} Theta _ {+}}})) { Big)} ^ {{- 1}} { Bigg)} & times left [{ frac {c ( Дельта _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c)} {p _ {-} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+})}} right. & + { Big [} (( Delta _ {2} ^ {{(p )}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) (E _ {-} ^ {3} + E_ { -} p _ {-} c) + p _ {-} c (2 (( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) E _ {-} p _ {-} c & + Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ {{(p)}} (3E _ {-} ^ {2} + p _ {-} ^ {2} c ^ {2})) { Big]} { Big [} ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ { +} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} { Big]} ^ {{- 1}} & + { Big [} -8p_ { +} ^ {2} p _ {-} ^ {2} m ^ {2} c ^ {4} sin ^ {2} Theta _ {+} (E _ {+} ^ {2} + E _ {-} ^ {2}) - 2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} p _ {-} c ( Delta _ {2 } ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) & + 2 hbar ^ {2} omega ^ {2 } p _ {-} m ^ {2} c ^ {3} ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p_ {-} c) { Big]} { Big [} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}) (( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p_ { -} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) { Big]} ^ {{- 1}} & + left. { Frac {4E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} (2 ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} -4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) ( Delta _ {1 } ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {2} ^ {{(p)}} p _ {-} c)} {(( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{ (p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) ^ {2}}} right], I_ {4} & = { frac {4 pi Ap _ {-} c ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c)} {( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} + { frac {16 pi E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} A ( Delta _ {2} ^ {{(p) }} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2}} {(( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E_ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {- } ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) ^ {2}}}, I_ {5} & = { frac {4 pi A} {(- ( Delta _ { 2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) (( Delta _ {2} ^ {(p)}} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)} } p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} )}} & times left [{ frac { hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {-} ^ {2}} {E _ {+} cp _ {+} cos Theta _ {+}}} { Big [} E _ {-} [2 ( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} (( Delta _ {2} ^ {{(p) }}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2}) + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ { 2} Theta _ {+} (( Delt a _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2})] right. & + p_ { -} c [2 Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ {{(p)}} (( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2}) + 16 Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ { {(p)}} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}] { Big]} { Big [} ( Delta _ { 2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} { Big]} ^ {{-1}} & + { frac {2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {{+}} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} ( 2 Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ {2} ^ {{(p)}} p _ {-} c + 2 ( Delta _ {2} ^ {{(p)} }) ^ {2} E _ {-} + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} E _ {-})} {E _ {+} -cp _ {+} cos Theta _ {+}}} & - { Big [} 2E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} {2 (( Delta _ {2 } ^ {{(p)}}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2}) ( Delta _ {2} ^ {{(p)} } E _ {-} + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} [(( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2} + ( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ { 2}) (E _ {-} ^ {2} + p _ {-} ^ {2} c ^ {2}) & + 4 Delta _ {1} ^ {{(p)}} Delta _ { 2} ^ {{(p)}} E _ {-} p _ {-} c] } { Big]} { Big [} ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} E _ {- } + Delta _ {1} ^ {{(p)}} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} { B ig]} ^ {{- 1}} & - left. { frac {8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} ( E _ {+} ^ {2} + E _ {-} ^ {2}) ( Delta _ {2} ^ {{(p)}} p _ {-} c + Delta _ {1} ^ {{(p) }} E _ {-})} {E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}}} right], I_ {6} & = - { frac {16 pi E_ { -} ^ {2} p _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} A} {(E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}) ^ { 2} (- ( Delta _ {2} ^ {{(p)}}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {{(p)}}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+})}} end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89082d84daae3b60c3793714c522e974deaa7739)
и
![{ begin {align} A & = { frac {Z ^ {2} alpha _ {{fine}} ^ {3} c ^ {2}} {(2 pi) ^ {2} hbar}} { frac {| { mathbf {p}} _ {+} || { mathbf {p}} _ {-} |} { omega ^ {3}}}, Delta _ {1} ^ { {(p)}} &: = - | { mathbf {p}} _ {+} | ^ {2} - | { mathbf {p}} _ {-} | ^ {2} - left ({ frac { hbar} {c}} omega right) +2 { frac { hbar} {c}} omega | { mathbf {p}} _ {+} | cos Theta _ {+ }, Delta _ {2} ^ {{(p)}} &: = 2 { frac { hbar} {c}} omega | { mathbf {p}} _ {i} | -2 | { mathbf {p}} _ {+} || { mathbf {p}} _ {-} | cos Theta _ {+} + 2. end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52887bfcb1ccf6681380049d207d0ac20f1a503)
Это поперечное сечение может быть применено в моделировании Монте-Карло. Анализ этого выражения показывает, что в основном позитроны испускаются в направлении падающего фотона.
Рекомендации
- ^ Бете, Х.А., Гейтлер, В., 1934. О остановке быстрых частиц и создании положительных электронов. Proc. Phys. Soc. Лондон. 146, 83–112
- ^ Коэн, К., Эберт, У., Угловое распределение тормозных фотонов и позитронов для расчетов земных гамма-вспышек и позитронных пучков, Атмосфера. Res. (2014), т. 135-136, стр. 432-465