Квантово-механическое рассеяние фотона и ядра - Quantum mechanical scattering of photon and nucleus

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В парное производство, фотон создает пару электрон-позитрон. В процессе рассеяния фотонов в воздуха (например, в молния разрядов), наиболее важным взаимодействием является рассеяние фотонов на ядрах атомы или же молекулы. Полный квантово-механический Процесс образования пар можно описать приведенным здесь четырехкратным дифференциальным сечением:^[1]

${ displaystyle { begin {align} d ^ {4} sigma & = { frac {Z ^ {2} alpha _ { textrm {fine}} ^ {3} c ^ {2}} {(2 pi) ^ {2} hbar}} | mathbf {p} _ {+} || mathbf {p} _ {-} | { frac {dE _ {+}} { omega ^ {3}} } { frac {d Omega _ {+} d Omega _ {-} d Phi} {| mathbf {q} | ^ {4}}} times & times left [- { гидроразрыв { mathbf {p} _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {-}} {(E _ {-} - c | mathbf {p} _ {-} | cos Theta _ {-}) ^ {2}}} left (4E _ {+} ^ {2} -c ^ {2} mathbf {q} ^ {2} right) right. & - { гидроразрыв { mathbf {p} _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}} {(E _ {+} - c | mathbf {p} _ {+} | cos Theta _ {+}) ^ {2}}} left (4E _ {-} ^ {2} -c ^ {2} mathbf {q} ^ {2} right) & + 2 hbar ^ { 2} omega ^ {2} { frac { mathbf {p} _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} + mathbf {p} _ {-} ^ {2 } sin ^ {2} Theta _ {-}} {(E _ {+} - c | mathbf {p} _ {+} | cos Theta _ {+}) (E _ {-} - c | mathbf {p} _ {-} | cos Theta _ {-})}} & + 2 left. { frac {| mathbf {p} _ {+} || mathbf {p} _ {-} | sin Theta _ {+} sin Theta _ {-} cos Phi} {(E _ {+} - c | mathbf {p} _ {+} | cos Theta _ {+}) (E _ {-} - c | mathbf {p} _ {-} | cos Theta _ {-})}} left (2E _ {+} ^ {2} + 2E _ {-} ^ {2} -c ^ {2} mathbf {q} ^ {2 } right) right]. конец {выровнен}}}$

с

${ Displaystyle { begin {выровнен} d Omega _ {+} & = sin Theta _ {+} d Theta _ {+}, d Omega _ {-} & = sin Theta _ {-} d Theta _ {-}. end {align}}}$

Это выражение можно получить, используя квантово-механическую симметрию между рождением пар и Тормозное излучение.
${ displaystyle Z}$ это атомный номер, ${ displaystyle alpha _ {fine} приблизительно 1/137}$ то постоянная тонкой структуры, ${ displaystyle hbar}$ сокращенный Постоянная Планка и ${ displaystyle c}$ то скорость света. Кинетические энергии ${ displaystyle E_ {kin, + / -}}$ позитрона и электрона относятся к их полной энергии ${ displaystyle E _ {+, -}}$ и импульсы ${ displaystyle mathbf {p} _ {+, -}}$ через

${ displaystyle E _ {+, -} = E_ {kin, + / -} + m_ {e} c ^ {2} = { sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + mathbf { p} _ {+, -} ^ {2} c ^ {2}}}.}$

Сохранение энергии дает

${ displaystyle hbar omega = E _ {+} + E _ {-}.}$

Импульс ${ displaystyle mathbf {q}}$ из виртуальный фотон между падающим фотоном и ядром составляет:

${ displaystyle { begin {align} - mathbf {q} ^ {2} & = - | mathbf {p} _ {+} | ^ {2} - | mathbf {p} _ {-} | ^ {2} - left ({ frac { hbar} {c}} omega right) ^ {2} +2 | mathbf {p} _ {+} | { frac { hbar} {c} } omega cos Theta _ {+} + 2 | mathbf {p} _ {-} | { frac { hbar} {c}} omega cos Theta _ {-} & - 2 | mathbf {p} _ {+} || mathbf {p} _ {-} | ( cos Theta _ {+} cos Theta _ {-} + sin Theta _ {+} sin Theta _ {-} cos Phi), end {align}}}$

где направления задаются через:

${ displaystyle { begin {align} Theta _ {+} & = sphericalangle ( mathbf {p} _ {+}, mathbf {k}), Theta _ {-} & = sphericalangle ( mathbf {p} _ {-}, mathbf {k}), Phi & = { text {Угол между плоскостями}} ( mathbf {p} _ {+}, mathbf {k}) { text {и}} ( mathbf {p} _ {-}, mathbf {k}), end {align}}}$

куда ${ displaystyle mathbf {k}}$ - импульс падающего фотона.

Чтобы проанализировать связь между энергией фотона ${ displaystyle E _ {+}}$ и угол вылета ${ displaystyle Theta _ {+}}$ между фотоном и позитроном, Кён и Эберт интегрировали ^[2] четырехкратное дифференциальное сечение по ${ displaystyle Theta _ {-}}$ и ${ displaystyle Phi}$. Двойное дифференциальное сечение:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d ^ {2} sigma (E _ {+}, omega, Theta _ {+})} {dE _ {+} d Omega _ {+}} } = sum limits _ {j = 1} ^ {6} I_ {j} end {align}}}$

с

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} & = { frac {2 pi A} { sqrt {( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+ } ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}}} & times ln left ({ frac {( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} - { sqrt {( Delta _ {2 } ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} ( Delta _ {1} ^ {(p)} + Delta _ {2} ^ {(p)}) + Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p)}} {- ( Дельта _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} - { sqrt { ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} ( Delta _ {1} ^ {(p)} - Delta _ {2} ^ {(p)}) + Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p) }}} right) & times left [-1 - { frac {c Delta _ {2} ^ {(p)}} {p _ {-} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+})}} + { frac {p _ {+} ^ {2} c ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}} {(E _ {+} - cp_ {+} cos Theta _ {+}) ^ {2}}} - { frac {2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {-} Delta _ {2} ^ {(p )}} {c (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}) (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ { 2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+})}} right], I_ {2} & = { frac {2 pi Ac} {p _ {- } (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+})}} ln left ({ frac {E _ {-} + p_ {-} c} {E _ {-} - p _ {-} c}} right), I_ {3} & = { frac {2 pi A} { sqrt {( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ { 2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}}} & times ln { Bigg (} { Big (} (E _ {-} + p_ { -} c) (4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} (E _ {-} - p _ {-} c) + ( Delta _ {1} ^ {(p)} + Delta _ {2} ^ {(p)}) (( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ { (p)} p _ {-} c) & - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p_ { -} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}}) ) { Big)} { Big (} (E _ {-} - p _ {-} c) (4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ { +} (- E _ {-} - p _ {-} c) & + ( Delta _ {1} ^ {(p)} - Delta _ {2} ^ {(p)}) (( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) - { sqrt {( Delta _ {2} ^ {(p) } E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {- } ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}})) { Big)} ^ {- 1} { Bigg)} & times left [{ frac {c ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c)} {p _ {-} (E _ {+} - cp _ {+ } cos Theta _ {+})}} right. & + { Big [} (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ { 2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) (E _ {-} ^ {3} + E _ {-} p _ {-} c) + p _ {-} c (2 (( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) E _ {-} p _ {-} c & + Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p)} (3E _ {-} ^ {2} + p _ {-} ^ {2} c ^ {2})) { Big]} { Big [} ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ { 2} Theta _ {+} { Big]} ^ {- 1} & + { Big [} -8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} m ^ {2} c ^ {4} sin ^ {2} Theta _ {+} (E _ {+} ^ {2} + E _ {-} ^ {2}) - 2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p_ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} p _ {-} c ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ { (p)} p _ {-} c) & + 2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {-} m ^ {2} c ^ {3} ( Delta _ {2} ^ { (p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) { Big]} { Big [} (E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}) (( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) { Big]} ^ {- 1} & + left. { frac {4E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} (2 ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} -4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}) ( Delta _ {1} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {2} ^ {(p)} p _ {-} c)} {(( Delta _ { 2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} s in ^ {2} Theta _ {+}) ^ {2}}} right], I_ {4} & = { frac {4 pi Ap _ {-} c ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c)} {( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}}} + { frac {16 pi E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} A ( Delta _ {2} ^ {(p)} E_ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2}} {(( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ { 2} Theta _ {+}) ^ {2}}}, I_ {5} & = { frac {4 pi A} {(- ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2} -4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ { +}) (( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+})}} & times left [{ frac { hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {-} ^ {2}} {E _ {+} cp _ {+} cos Theta _ {+}}} { Big [} E _ {-} [2 ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {(p)} ) ^ {2}) + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2})] right. & + p _ {-} c [2 Delta _ {1} ^ {(p) } Delta _ {2} ^ {(p)} (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2 }) +16 Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p)} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+}] { Big]} { Big [} ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + 4p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} { Big]} ^ {- 1} & + { frac {2 hbar ^ {2} omega ^ {2} p _ {+} ^ {2 } sin ^ {2} Theta _ {+} (2 Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p)} p _ {-} c + 2 ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} E _ {-} + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} E _ {- })} {E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}}} & - { Big [} 2E _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} { 2 (( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} - ( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2}) ( Delta _ {2} ^ {( p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ {(p)} p _ {-} c) ^ {2} + 8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} [(( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2} + ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2}) ( E _ {-} ^ {2} + p _ {-} ^ {2} c ^ {2}) & + 4 Delta _ {1} ^ {(p)} Delta _ {2} ^ {(p )} E _ {-} p _ {-} c] } { Big]} { Big [} ( Delta _ {2} ^ {(p)} E _ {-} + Delta _ {1} ^ { (p)} p _ {-} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} { Big]} ^ {- 1} & - left. { Frac {8p _ {+} ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ { +} (E _ {+} ^ {2} + E _ {-} ^ {2}) ( Delta _ {2} ^ {(p)} p _ {-} c + Delta _ {1} ^ {(p) } E _ {-})} {E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ {+}}} right], I_ {6} & = - { frac { 16 pi E _ {-} ^ {2} p _ {+} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+} A} {(E _ {+} - cp _ {+} cos Theta _ { +}) ^ {2} (- ( Delta _ {2} ^ {(p)}) ^ {2} + ( Delta _ {1} ^ {(p)}) ^ {2} -4p _ {+ } ^ {2} p _ {-} ^ {2} sin ^ {2} Theta _ {+})}} end {align}}}$

и

${ displaystyle { begin {align} A & = { frac {Z ^ {2} alpha _ {fine} ^ {3} c ^ {2}} {(2 pi) ^ {2} hbar}} { frac {| mathbf {p} _ {+} || mathbf {p} _ {-} |} { omega ^ {3}}}, Delta _ {1} ^ {(p) } &: = - | mathbf {p} _ {+} | ^ {2} - | mathbf {p} _ {-} | ^ {2} - left ({ frac { hbar} {c} } omega right) +2 { frac { hbar} {c}} omega | mathbf {p} _ {+} | cos Theta _ {+}, Delta _ {2} ^ {(p)} &: = 2 { frac { hbar} {c}} omega | mathbf {p} _ {i} | -2 | mathbf {p} _ {+} || mathbf { p} _ {-} | cos Theta _ {+} + 2. end {align}}}$

Это поперечное сечение может быть применено в моделировании Монте-Карло. Анализ этого выражения показывает, что в основном позитроны испускаются в направлении падающего фотона.

Рекомендации