Квазикомпактный морфизм - Quasi-compact morphism

В алгебраическая геометрия, морфизм между схемами называется квазикомпактный если Y могут быть покрыты открытыми аффинными подсхемами так что предварительные изображения квазикомпактны (как топологическое пространство).[1] Если ж квазикомпактен, то прообраз квазикомпактной открытой подсхемы (например, открытой аффинной подсхемы) при ж квазикомпактен.

Мало того, что Y допускает покрытие квазикомпактными открытыми подсхемами, прообразы которых квазикомпактны. Чтобы привести пример,[2] позволять А - кольцо, не удовлетворяющее условиям возрастающей цепи на радикальных идеалах, и положим . Икс содержит открытое подмножество U это не квазикомпактный. Позволять Y - схема, полученная склейкой двух ИКС'вместе U. Икс, Y оба квазикомпактны. Если включение одной из копий Икс, затем прообраз другого Икс, открыть аффинный в Y, является U, а не квазикомпактный. Следовательно, ж не является квазикомпактным.

Морфизм квазикомпактной схемы в аффинную схему квазикомпактен.

Позволять - квазикомпактный морфизм схем. потом закрыто тогда и только тогда, когда оно устойчиво по специализации.

Композиция квазикомпактных морфизмов квазикомпактна. Замена базы квазикомпактного морфизма квазикомпактна.

Аффинная схема квазикомпактна. Фактически, схема квазикомпактна тогда и только тогда, когда она является конечным объединением открытых аффинных подсхем. Критерий Серра дает необходимое и достаточное условие аффинности квазикомпактной схемы.

Квазикомпактная схема имеет хотя бы одну замкнутую точку.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Это определение в Хартсхорне.
  2. ^ Замечание 1.5 в Вистоли
  3. ^ Шведе, Карл (2005), "Схемы склеивания и схемы без замкнутых точек", Последние достижения в арифметике и алгебраической геометрии, Contemp. Математика, 386, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 157–172, Дои:10.1090 / conm / 386/07222, МИСТЕР  2182775. См., В частности, предложение 4.1.
  • Хартсхорн, Алгебраическая геометрия.
  • Анджело Вистоли, "Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска". arXiv:математика / 0412512

внешняя ссылка