Квазинепрерывная функция - Quasi-continuous function

В математика, понятие квазинепрерывная функция подобен, но слабее, чем понятие непрерывная функция. Все непрерывные функции квазинепрерывны, но обратное, вообще говоря, неверно.

Определение

Позволять ${ displaystyle X}$ быть топологическое пространство. Действительная функция ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ квазинепрерывен в точке ${ displaystyle x in X}$ если для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$ и любой открытый район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x}$ есть непустой открытый набор ${ displaystyle G subset U}$ такой, что

${ Displaystyle | е (х) -f (y) | < epsilon ; ; ; ; forall y in G}$

Обратите внимание, что в приведенном выше определении нет необходимости, чтобы ${ displaystyle x in G}$.

Характеристики

• Если ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ непрерывно, то ${ displaystyle f}$ квазинепрерывен
• Если ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ непрерывно и ${ displaystyle g: X rightarrow mathbb {R}}$ квазинепрерывно, то ${ displaystyle f + g}$ квазинепрерывно.

Пример

Рассмотрим функцию ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ определяется ${ displaystyle f (x) = 0}$ в любое время ${ Displaystyle х leq 0}$ и ${ displaystyle f (x) = 1}$ в любое время ${ displaystyle x> 0}$. Ясно, что f непрерывна всюду, кроме точки x = 0, следовательно, квазинепрерывна всюду, кроме точки x = 0. При x = 0 возьмем любую открытую окрестность U точки x. Тогда существует открытое множество ${ displaystyle G subset U}$ такой, что ${ displaystyle y <0 ; forall y in G}$. Ясно, что это дает ${ Displaystyle | f (0) -f (y) | = 0 ; forall y in G}$ таким образом, f квазинепрерывен.

Напротив, функция ${ displaystyle g: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ определяется ${ displaystyle g (x) = 0}$ в любое время ${ displaystyle x}$ рациональное число и ${ Displaystyle г (х) = 1}$ в любое время ${ displaystyle x}$ - иррациональное число нигде не является квазинепрерывным, поскольку всякое непустое открытое множество ${ displaystyle G}$ содержит некоторые ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$ с ${ Displaystyle | г (у_ {1}) - г (у_ {2}) | = 1}$.

Рекомендации

• Ян Борсик (2007–2008). «Точки непрерывности, квазинепрерывности, кликливости, а также верхней и нижней квазинепрерывности». Обмен реального анализа. 33 (2): 339–350.
• Т. Нойбрунн (1988). «Квазинепрерывность». Обмен реального анализа. 14 (2): 259–308. JSTOR  44151947.