Раскраска радуга - Rainbow coloring

Радужная раскраска колесо графа, с тремя цветами. Каждые две несмежные вершины могут быть соединены радужным путем либо напрямую через центральную вершину (внизу слева), либо путем обхода одного треугольника, чтобы избежать повторяющегося цвета краев (внизу справа).

В теория графов, путь в крашеный граф как говорят радуга если на нем не повторяется ни один цвет. Граф называется связанный с радугой (или же цвета радуги), если между каждой парой его вершины. Если есть радуга кратчайший путь между каждой парой вершин граф называется сильно связанный с радугой (или же сильно радужный).^[1]

Определения и границы

В номер соединения радуги графа ${ displaystyle G}$ это минимальное количество цветов, необходимое для соединения радуги ${ displaystyle G}$ , и обозначается ${ displaystyle { text {rc}} (G)}$ . Точно так же номер сильной радуги графа ${ displaystyle G}$ это минимальное количество цветов, необходимое для сильного соединения радуги ${ displaystyle G}$ , и обозначается ${ displaystyle { text {src}} (G)}$ . Ясно, что каждая яркая радужная окраска также является радужной окраской, в то время как обратное в целом неверно.

Легко заметить, что для соединения любого связного графа с помощью радуги ${ displaystyle G}$ , нам нужно как минимум ${ displaystyle { text {diam}} (G)}$ цвета, где ${ displaystyle { text {diam}} (G)}$ это диаметр из ${ displaystyle G}$ (т. е. длина самого длинного кратчайшего пути). С другой стороны, мы никогда не сможем использовать больше, чем ${ displaystyle m}$ цвета, где ${ displaystyle m}$ обозначает количество края в ${ displaystyle G}$ . Наконец, поскольку каждый граф с сильной радугой связан с радугой, мы имеем ${ displaystyle { text {diam}} (G) leq { text {rc}} (G) leq { text {src}} (G) leq m}$ .

Следующие экстремальные случаи:^[1]

${ displaystyle { text {rc}} (G) = { text {src}} (G) = 1}$ если и только если ${ displaystyle G}$ это полный график.
${ displaystyle { text {rc}} (G) = { text {src}} (G) = m}$ если и только если ${ displaystyle G}$ это дерево.

Выше показано, что по количеству вершин верхняя граница ${ Displaystyle { текст {rc}} (G) Leq N-1}$ в целом лучший из возможных. Фактически, раскраска радуги с использованием ${ displaystyle n-1}$ цвета могут быть построены путем окраски ребер остовного дерева ${ displaystyle G}$ в отличных цветах. Оставшиеся неокрашенные края окрашиваются произвольно, без введения новых цветов. Когда ${ displaystyle G}$ 2-связно, имеем ${ Displaystyle { текст {rc}} (G) leq lceil п / 2 rceil}$ .^[2] Более того, это непросто, о чем свидетельствует, например, нечетные циклы.

Точные номера соединений радуги или сильной радуги

Номер радуги или сильной радужной связи был определен для некоторых классов структурированных графов:

${ displaystyle { text {rc}} (C_ {n}) = { text {src}} (C_ {n}) = lceil n / 2 rceil}$ , для каждого целого числа ${ displaystyle n geq 4}$ , куда ${ displaystyle C_ {n}}$ это график цикла.^[1]
${ displaystyle { text {rc}} (W_ {n}) = 3}$ , для каждого целого числа ${ displaystyle n geq 7}$ , и ${ displaystyle { text {src}} (W_ {n}) = lceil n / 3 rceil}$ , за ${ Displaystyle п geq 3}$ , куда ${ displaystyle W_ {n}}$ это колесо графа.^[1]

Сложность

Проблема определения того, действительно ли ${ displaystyle { text {rc}} (G) = 2}$ для данного графа ${ displaystyle G}$ является НП-полный.^[3] Потому что ${ displaystyle { text {rc}} (G) = 2}$ если и только если ${ displaystyle { text {src}} (G) = 2}$ ,^[1] отсюда следует, что решение, если ${ displaystyle { text {src}} (G) = 2}$ NP-полна для данного графа ${ displaystyle G}$ .

Варианты и обобщения

Чартран, Окамото и Чжан^[4] обобщил номер соединения радуги следующим образом. Позволять ${ displaystyle G}$ - нетривиальный связный граф порядка ${ displaystyle n}$ . Дерево ${ displaystyle T}$ это Радужное дерево если нет двух краев ${ displaystyle T}$ назначаются одного цвета. Позволять ${ displaystyle k}$ быть фиксированным целым числом с ${ Displaystyle 2 Leq К Leq N}$ . Краевая окраска ${ displaystyle G}$ называется ${ displaystyle k}$ -радуга раскраски если для каждого набора ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle k}$ вершины ${ displaystyle G}$ , есть радужное дерево в ${ displaystyle G}$ содержащий вершины ${ displaystyle S}$ . В ${ displaystyle k}$ -индекс радуги ${ displaystyle { text {rx}} _ {k} (G)}$ из ${ displaystyle G}$ минимальное количество цветов, необходимое для ${ displaystyle k}$ -радуга раскраски ${ displaystyle G}$ . А ${ displaystyle k}$ -радуга раскраски с помощью ${ displaystyle { text {rx}} _ {k} (G)}$ цвета называется минимум ${ displaystyle k}$ -радуга раскраски. Таким образом ${ displaystyle { text {rx}} _ {2} (G)}$ это число радуги ${ displaystyle G}$ .

Радужная связность также изучалась в графах с цветными вершинами. Это понятие было введено Кривелевичем и Юстером.^[5]Здесь номер связи вершины радуги графа ${ displaystyle G}$ , обозначаемый ${ displaystyle { text {rvc}} (G)}$ , это минимальное количество цветов, необходимое для раскрашивания ${ displaystyle G}$ такая, что для каждой пары вершин существует путь, соединяющий их, внутренним вершинам которого назначены разные цвета.