Троичная квадратичная форма Рамануджана - Википедия - Ramanujans ternary quadratic form

В математика, в теория чисел, Тернарная квадратичная форма Рамануджана является алгебраическим выражением Икс2 + у2 + 10z2 с целыми значениями для Икс, у иz.[1][2] Шриниваса Рамануджан рассмотрел это выражение в сноске в статье[3] опубликовано в 1916 году и вкратце обсуждает представимость целых чисел в этой форме. Приведя необходимые и достаточные условия, что целое число не может быть представлено в виде топор2 + к2 + cz2 для определенных конкретных значений а, б и cРамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут побудить нас предположить, что есть аналогичные простые результаты для формы топор2 + к2 + cz2 каковы бы ни были ценности а, б и c. Однако оказывается, что в большинстве случаев таких простых результатов не бывает ".[3] Чтобы подтвердить это наблюдение, Рамануджан обсудил форму, которая теперь называется тернарной квадратичной формой Рамануджана.

Недвижимость, обнаруженная Рамануджаном

В своей статье 1916 г.[3] Рамануджан сделал следующие наблюдения относительно формы Икс2 + у2 + 10z2.

  • Четные числа, не имеющие формы Икс2 + у2 + 10z2 4 годаλ(16μ + 6).
  • Нечетные числа, не имеющие вида Икс2 + у2 + 10z2, а именно. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... кажется, не подчиняются никакому простому закону.

Нечетные числа больше 391

Поставив многоточие в конец списка нечетных чисел, не представимых как Икс2 + у2 + 10z2Рамануджан указал, что его список неполный. Неясно, намеревался ли Рамануджан быть конечным списком или бесконечным списком. Это побудило других искать такие нечетные числа. В 1927 году Бертон У. Джонс и Гордон Полл[2] обнаружил, что число 679 не может быть выражено в форме Икс2 + у2 + 10z2 и они также подтвердили, что не было других таких чисел ниже 2000. Это привело к раннему предположению, что семнадцать чисел - шестнадцать чисел в списке Рамануджана и число, обнаруженное ими - были единственными нечетными числами, которые нельзя представить в виде Икс2 + у2 + 10z2. Однако в 1941 году Х. Гупта[4] показал, что число 2719 не может быть представлено как Икс2 + у2 + 10z2. Он также подтвердил, что других таких чисел меньше 20000 не существует. Дальнейший прогресс в этом направлении произошел только после появления современных компьютеров. У. Голуэй написал компьютерную программу для определения нечетных целых чисел, которые нельзя выразить как Икс2 + у2 + 10z2. Голуэй подтвердил, что всего на восемнадцать чисел меньше 2 × 1010 не представляется в форме Икс2 + у2 + 10z2.[1] Основываясь на расчетах Голуэя, Кен Оно и К.Сундарараджан сформулировали следующее догадка:[1]

Нечетные положительные целые числа, не имеющие вида Икс2 + у2 + 10z2 находятся: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Некоторые известные результаты

Гипотеза Кена Оно и Соундарараджана не была полностью решена. Однако, помимо результатов, изложенных Рамануджаном, было установлено несколько более общих результатов о форме. Доказательства некоторых из них довольно просты, тогда как доказательства других содержат довольно сложные концепции и аргументы.[1]

  • Каждое целое число в форме 10п + 5 представлен тернарной квадратичной формой Рамануджана.
  • Если п является нечетным целым числом, не свободным от квадратов, тогда его можно представить в виде Икс2 + у2 + 10z2.
  • Существует лишь конечное число нечетных целых чисел, которые нельзя представить в виде Икс2 + у2 + 10z2.
  • Если обобщенная гипотеза Римана верна, то гипотеза Оно и Соундарараджана также верна.
  • Тернарная квадратичная форма Рамануджана не является правильной в смысле L.E. Диксон.[5]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Оно, Кен; Саундарараджан, Каннан (1997). "Троичная квадратичная форма Рамануджана" (PDF). Inventiones Mathematicae. 130 (3): 415–454. CiteSeerX  10.1.1.585.8840. Дои:10.1007 / s002220050191. МИСТЕР  1483991.
  2. ^ а б Джонс, Бертон В .; Полл, Гордон (1939). «Регулярные и полурегулярные положительные тернарные квадратичные формы». Acta Mathematica. 70 (1): 165–191. Дои:10.1007 / bf02547347. МИСТЕР  1555447.
  3. ^ а б c С. Рамануджан (1916). "О выражении числа в форме топор2 + к2 + cz2 + ду2". Proc. Camb. Фил. Soc. 19: 11–21.
  4. ^ Гупта, Хансрадж (1941). «Некоторые идиосинкразические числа Рамануджана» (PDF). Труды Индийской академии наук, раздел A. 13 (6): 519–520. Дои:10.1007 / BF03049015. МИСТЕР  0004816.
  5. ^ Л. Э. Диксон (1926–1927). «Тернарные квадратичные формы и сравнения». Анналы математики. Вторая серия. 28 (1/4): 333–341. Дои:10.2307/1968378. JSTOR  1968378. МИСТЕР  1502786.