Ранг в ранг - Rank-into-rank

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория множеств, филиал математика, а ранг в ранг вложение - это большая кардинальная собственность определяется одним из следующих четырех аксиомы дан в порядке увеличения прочности консистенции. (Множество ранга <λ является одним из элементов множества V_λ из иерархия фон Неймана.)

• Аксиома I3: Есть нетривиальный элементарное вложение из V_λ в себя.
• Аксиома I2: Существует нетривиальное элементарное вложение V в транзитивный класс M, включающий V_λ где λ - первая неподвижная точка над критическая точка.
• Аксиома I1: Существует нетривиальное элементарное вложение V_{λ + 1} в себя.
• Аксиома I0: Существует нетривиальное элементарное вложение L (V_{λ + 1}) в себя с критической точкой ниже λ.

По сути, это самые сильные из известных аксиом больших кардинальных чисел, которые, как известно, не противоречат друг другу. ZFC; аксиома для Кардиналы Рейнхардта сильнее, но не соответствует аксиома выбора.

Если j - элементарное вложение, упомянутое в одной из этих аксиом, а κ - его критическая точка, то λ - предел ${ Displaystyle j ^ {п} ( каппа)}$ когда n переходит в ω. В более общем плане, если аксиома выбора Доказано, что если существует нетривиальное элементарное вложение V_α в себя, то α либо предельный порядковый номер из конфинальность ω или преемник такого ординала.

Аксиомы I0, I1, I2 и I3 сначала подозревались в несогласованности (в ZFC), поскольку считалось возможным, что Теорема Кунена о непротиворечивости который Кардиналы Рейнхардта несовместимы с аксиомой выбора, можно распространить на них, но этого еще не произошло, и теперь они обычно считаются последовательными.

Каждый I0 кардинал κ (говоря здесь о критической точке j) - кардинал I1.

Каждый I1 кардинал κ (иногда называемый ω-огромными кардиналами) является кардиналом I2 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I2.

Каждый I2 кардинал κ является кардиналом I3 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I3.

Каждый I3 кардинал κ имеет другой I3 кардинал над это и является п-огромный кардинал для каждого п<ω.

Из аксиомы I1 следует, что V_{λ + 1} (эквивалентно H (λ⁺)) не удовлетворяет V = HOD. В V не существует множества S⊂λ._{λ + 1} (даже по параметрам V_λ и ординалы <λ⁺) с S конфинальным по λ и | S | <λ, т. е. нет таких S, свидетельствующих о сингулярности λ. Аналогично для аксиомы I0 и порядковой определимости в L (V_{λ + 1}) (даже из параметров в V_λ). Однако глобально и даже в V_λ,^[1] V = HOD относительно согласуется с Аксиомой I1.

Обратите внимание, что I0 иногда дополнительно усиливается, добавляя «набор Икара», чтобы он был

• Набор Axiom Icarus: Существует нетривиальное элементарное вложение L (V_{λ + 1}, Icarus) в себя с критической точкой ниже λ.

Набор Икара должен быть в V_{λ + 2} - L (V_{λ + 1}), но выбрано, чтобы избежать несоответствия. Так, например, он не может закодировать хорошо упорядоченный V_{λ + 1}. См. Раздел 10 Dimonte для более подробной информации.

Примечания

Рекомендации

• Димонте, Винченцо (2017), «I0 и аксиомы ранга в ранг», arXiv:1707.02613 [math.LO ].
• Гайфман, Хаим (1974), "Элементарные вложения моделей теории множеств и некоторых подтеорий", Аксиоматическая теория множеств, Proc. Симпози. Pure Math., XIII, Часть II, Providence R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 33–101, МИСТЕР  0376347
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-00384-3.
• Лейвер, Ричард (1997), "Следствия между сильными большими кардинальными аксиомами", Анна. Pure Appl. Логика, 90 (1–3): 79–90, Дои:10.1016 / S0168-0072 (97) 00031-6, МИСТЕР  1489305.
• Соловей, Роберт М.; Рейнхардт, Уильям Н.; Канамори, Акихиро (1978), "Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения", Анналы математической логики, 13 (1): 73–116, Дои:10.1016/0003-4843(78)90031-1.