Рациональная особенность - Rational singularity

В математика, в частности в области алгебраическая геометрия, а схема ${ displaystyle X}$ имеет рациональные особенности, если это нормальный, конечного типа над полем характеристика ноль, и существует правильный бирациональная карта

{ displaystyle f двоеточие Y rightarrow X}

из обычная схема ${ displaystyle Y}$ так что более высокие прямые изображения из ${ displaystyle f _ {*}}$ применительно к ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$ тривиальны. Это,

{ Displaystyle R ^ {я} е _ {*} { mathcal {O}} _ {Y} = 0}

за

{ displaystyle i> 0}

.

Если есть одно такое разрешение, то отсюда следует, что все резольвенты обладают этим свойством, так как любые два разрешения особенностей могут преобладать над третьим.

Для поверхностей рациональные особенности определялись формулой (Артин 1966 ).

Составы

В качестве альтернативы можно сказать, что ${ displaystyle X}$ имеет рациональные особенности тогда и только тогда, когда естественное отображение в производная категория

{ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} rightarrow Rf _ {*} { mathcal {O}} _ {Y}}

это квазиизоморфизм. Обратите внимание, что сюда входит утверждение, что ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} simeq f _ {*} { mathcal {O}} _ {Y}}$ отсюда и предположение, что ${ displaystyle X}$ это нормально.

Есть родственные понятия в положительном и смешанном характеристика из

псевдорациональный

и

F-рациональный

Рациональные особенности, в частности Коэн-Маколей, нормальный и Du Bois. Они не должны быть Горенштейн или даже Q-Gorenstein.

Лог-терминал особенности рациональны, (Коллар, Мори, 1998, теорема 5.22. )

Примеры

Пример рациональной особенности - особая точка квадратный конус

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0. ,}

(Артин 1966 ) показал, что рациональное двойные очки из алгебраические поверхности являются Особенности Дюваля.

использованная литература

Артин, Майкл (1966), "Об изолированных рациональных особенностях поверхностей", Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 88 (1): 129–136, Дои:10.2307/2373050, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373050, Г-Н 0199191
Коллар, Янош; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий, Кембриджские трактаты по математике, 134, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, Г-Н 1658959
Липман, Джозеф (1969), «Рациональные особенности с приложениями к алгебраическим поверхностям и однозначной факторизацией», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279, ISSN 1618-1913, Г-Н 0276239