Проблема Рэлея - Rayleigh problem

В гидродинамике Проблема Рэлея также известный как Первая проблема Стокса - задача определения потока, создаваемого внезапным движением бесконечно длинной пластины из состояния покоя, названной в честь Лорд Рэйли и Сэр Джордж Стоукс. Это считается одной из простейших нестационарных задач, имеющих точное решение для Уравнения Навье-Стокса. Импульсное движение полубесконечной пластины исследовал Кейт Стюартсон^[1].

Описание потока^[2][3]

Рассмотрим бесконечно длинную пластину, которая внезапно заставила двигаться с постоянной скоростью. ${ displaystyle U}$ в ${ displaystyle x}$ направление, которое находится в ${ displaystyle y = 0}$ в бесконечной области жидкости, которая изначально везде находится в состоянии покоя. Несжимаемый Уравнения Навье-Стокса сократить до

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = nu { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}}}$

куда ${ displaystyle nu}$ это кинематическая вязкость. Начальный и условие противоскольжения на стене

${ displaystyle u (y, 0) = 0, quad u (0, t> 0) = U, quad u ( infty, t> 0) = 0,}$

последнее условие связано с тем, что движение на ${ displaystyle y = 0}$ не ощущается в бесконечности. Течение возникает только за счет движения пластины, градиент давления отсутствует.

Самоподобное решение^[4]

Задача в целом аналогична одномерной задаче теплопроводности. Следовательно, можно ввести автомодельную переменную

${ displaystyle eta = { frac {y} { sqrt { nu t}}}, quad f ( eta) = { frac {u} {U}}}$

Подставляя это уравнение в частных производных, сводит его к обыкновенному дифференциальному уравнению

${ displaystyle f '' + { frac {1} {2}} eta f '= 0}$

с граничными условиями

${ Displaystyle е (0) = 1, четырехъядерный е ( infty) = 0}$

Решение указанной выше проблемы можно записать в терминах дополнительная функция ошибок

${ displaystyle u = U mathrm {erfc} left ({ frac {y} { sqrt {4 nu t}}} right)}$

Сила на единицу площади, действующая на пластину, равна

${ displaystyle F = mu left ({ frac { partial u} { partial y}} right) _ {y = 0} = - rho { sqrt { frac { nu U ^ {2 }}{яма}}}}$

Произвольное движение стены

Вместо использования ступенчатого граничного условия для движения стенки можно задать скорость стенки как произвольную функцию времени, т. Е. ${ Displaystyle U = f (t)}$. Тогда решение дается^[5]

${ displaystyle u (y, t) = int _ {0} ^ {t} { frac {f ( tau)} {2 { sqrt { pi nu}}}} { frac {y} {(t- tau) ^ {3/2}}} e ^ {- { frac {y ^ {2}} {4 nu (t- tau)}}} d tau.}$

Задача Рэлея в цилиндрической геометрии

Вращающийся цилиндр

Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса ${ displaystyle a}$ внезапно начинает вращаться ${ displaystyle t = 0}$ с угловой скоростью ${ displaystyle Omega}$. Тогда скорость в ${ displaystyle theta}$ направление дается

${ displaystyle v _ { theta} = { frac {a Omega} {2 pi i}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac {K_ {1} (r { sqrt {s / nu}})} {K_ {1} (a { sqrt {s / nu}})}} e ^ {st} { frac {ds} {s}}}$

куда ${ displaystyle K_ {1}}$ - модифицированная функция Бесселя второго рода. В качестве ${ Displaystyle т rightarrow infty}$решение приближается к твердому вихрю. Сила на единицу площади, действующая на цилиндр, равна

${ displaystyle F = mu left ({ frac { partial v _ { theta}} { partial r}} - { frac {v _ { theta}} {r}} right) _ {r = a} = { frac { rho a ^ {2} Omega} {t}} e ^ {- { frac {a ^ {2}} {2 nu t}}} I_ {0} left ( { frac {a ^ {2}} {2 nu t}} right) -2 mu Omega}$

куда ${ displaystyle I_ {0}}$ - модифицированная функция Бесселя первого рода.

Скользящий цилиндр

Также доступно точное решение, когда цилиндр начинает скользить в осевом направлении с постоянной скоростью. ${ displaystyle U}$. Если считать, что ось цилиндра находится в ${ displaystyle x}$ направление, то решение дается формулой

${ displaystyle u = { frac {U} {2 pi i}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac {K_ {0} (r { sqrt {s / nu}})} {K_ {0} (a { sqrt {s / nu}})}} e ^ {st} { frac {ds} {s}}.}$

Смотрите также

• Проблема Стокса

Рекомендации