Принцип отражения (винеровский процесс) - Reflection principle (Wiener process)

Моделирование винеровского процесса (черная кривая). Когда процесс достигает точки пересечения в а= 50 при т${ Displaystyle приблизительно}$3000, как исходный процесс, так и его отражение (красная кривая) относительно а= 50 строк (синяя линия). После точки пересечения и черная, и красная кривые имеют одинаковое распределение.

В теории вероятность за случайные процессы, то принцип отражения для Винеровский процесс утверждает, что если путь винеровского процесса ж(т) достигает значения ж(s) = а вовремя т = s, то последующий путь после времени s имеет то же распределение, что и отражение последующего пути относительно значения а.^[1] Более формально принцип отражения относится к лемме о распределении супремума винеровского процесса или броуновского движения. Результат связывает распределение супремума броуновского движения во времени т распределению процесса по времени т. Это следствие сильное марковское свойство броуновского движения.

Заявление

Если ${ Displaystyle (W (т): т geq 0)}$ это винеровский процесс, и ${ displaystyle a> 0}$ является порогом (также называемым точкой пересечения), то в лемме говорится:

${ Displaystyle mathbb {P} влево ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right) = 2 mathbb {P} (W (t) geq a)}$

Предполагая ${ Displaystyle W (0) = 0}$ , из-за непрерывности винеровского процесса, каждый путь (одна выборочная реализация) винеровского процесса на (0, t), который заканчивается или превышает значение / уровень / порог / точку пересечения 'a' за время t (${ Displaystyle W (т) geq а}$) должно было пересечь порог 'а' (${ Displaystyle W (t_ {а}) = а)}$) когда-то раньше ${ displaystyle t_ {a} leq t}$ в первый раз . (Он может пересекать уровень 'a' несколько раз на интервале (0, t), мы берем самый ранний.) Для каждого такого пути вы можете определить другой выбранный путь винеровского процесса W 'на (0, t), который отражается или вертикально перевернутый на подинтервале ${ Displaystyle (т_ {а}, т)}$ симметрично относительно уровня 'a' от исходного пути. ( ${ Displaystyle а-W '(т) = W (т) -а}$ ) Этот отраженный путь также достиг значения ${ Displaystyle W '(т_ {а}) = а}$ на интервале (0, t) и также является винеровским процессом или броуновским движением. Как исходный, так и отраженный пути образуют набор путей, которые достигают значения «a» на (0, t), и их вдвое больше, чем тех, которые заканчиваются на пороговом значении «a» или выше (только исходный путь) в момент времени t. Если каждый путь равновероятен (представьте себе симметричное случайное блуждание от 0 по деревьям), то достижение порога «а» в любой момент времени на (0, t) в два раза выше, чем достижение порога «а» или выше в момент времени t. Как насчет путей, которые достигают уровня 'a' на (0, t), а затем заканчиваются где-то на значении ${ Displaystyle W (т) <а}$ в то время t? Они учтены? Да. Существуют именно те отраженные пути, которые учитываются при подсчете количества путей, достигших только порога «а», и их ровно столько, сколько тех, которые оказались выше порога «а» в момент времени t. Как только винеровский процесс достигнет порога «а», то из-за симметрии с равной вероятностью (p = 0,5) он окажется выше или ниже порога «а» в любой момент времени t в будущем. Итак, условная вероятность:${ Displaystyle P (W (t) geq a | W (t_ {a}) = a) = 0,5}$.Путь с ${ Displaystyle W (т) <а}$ которые никогда не достигают порога «а», никогда не рассматриваются.

В более сильной форме принцип отражения гласит, что если ${ Displaystyle тау}$ это время остановки то отражение винеровского процесса, начиная с ${ Displaystyle тау}$, обозначенный ${ Displaystyle (W ^ { тау} (т): т geq 0)}$, также является винеровским процессом, где:

${ Displaystyle W ^ { tau} (t) = W (t) chi _ { left {t leq tau right }} + (2W ( tau) -W (t)) chi _ { left {t> tau right }}}$

и индикаторная функция ${ displaystyle chi _ { {t leq tau }} = { begin {case} 1, & { text {if}} t leq tau 0, & { text {иначе} } end {case}}}$ и ${ Displaystyle чи _ { {т> тау }}}$определяется аналогично. Из более сильной формы следует исходная лемма, выбирая ${ Displaystyle тау = инф влево {т geq 0: W (т) = а вправо }}$.

Доказательство

Самое раннее время остановки для достижения пункта пересечения а, ${ Displaystyle тау _ {а}: = инф влево {т: W (т) = а вправо }}$время остановки почти наверняка ограничено. Затем мы можем применить сильное марковское свойство, чтобы вывести, что относительный путь, следующий за ${ Displaystyle тау _ {а}}$, данный ${ displaystyle X_ {t}: = W (t + tau _ {a}) - а}$, также является простым броуновским движением, не зависящим от ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { tau _ {a}} ^ {W}}$. Тогда распределение вероятностей в последний раз ${ Displaystyle W (s)}$ находится на пороге или выше ${ displaystyle a}$ во временном интервале ${ displaystyle [0, t]}$ можно разложить как

${ Displaystyle { begin {align} mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right) & = mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a, W (t) geq a right) + mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a, W (t)$.

Посредством башня собственности за условные ожидания, второй член сводится к:

${ Displaystyle { begin {выровнено} mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a, X (t- tau _ {a}) <0 right) & = mathbb {E} left [ mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a, X (t- tau _ {a }) <0 | { mathcal {F}} _ { tau _ {a}} ^ {W} right) right] & = mathbb {E} left [ chi _ { sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a} mathbb {P} left (X (t- tau _ {a}) <0 | { mathcal {F}} _ { tau _ {a}} ^ {W} right) right] & = { frac {1} {2}} mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right), end {align}}}$

поскольку ${ Displaystyle X (т)}$ стандартное броуновское движение, не зависящее от ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { tau _ {a}} ^ {W}}$ и имеет вероятность ${ displaystyle 1/2}$ быть меньше чем ${ displaystyle 0}$. Доказательство леммы завершается подстановкой его во вторую строку первого уравнения.^[2]

${ displaystyle { begin {align} mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right) & = mathbb {P} left (W (t) geq a right) + { frac {1} {2}} mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right) mathbb {P} left ( sup _ {0 leq s leq t} W (s) geq a right) & = 2 mathbb {P} left (W (t) geq a right) end {выровнен}}}$.

Последствия

Принцип отражения часто используется для упрощения распределительных свойств броуновского движения. Рассматривая броуновское движение на ограниченном интервале ${ Displaystyle (W (т): т в [0,1])}$ то принцип отражения позволяет доказать, что положение максимумов ${ Displaystyle т _ { текст {макс}}}$, удовлетворяющий ${ Displaystyle W (t _ { text {max}}) = sup _ {0 leq s leq 1} W (s)}$, имеет распределение арксинусов. Это один из Арксиновые законы Леви.^[3]

Рекомендации