Регулярная полуалгебраическая система - Regular semi-algebraic system

В компьютерная алгебра, а регулярная полуалгебраическая система является частным видом треугольной системы многомерных многочленов над замкнутым вещественным полем.

Вступление

Обычные цепи и треугольные разложения являются фундаментальными и хорошо развитыми инструментами для описания сложных решений полиномиальных систем. Понятие регулярной полуалгебраической системы является адаптацией концепции регулярной цепочки с акцентом на решениях реального аналога: полуалгебраических систем.

Любая полуалгебраическая система ${ displaystyle S}$ можно разложить на конечное число регулярных полуалгебраических систем ${ Displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {e}}$ такая, что точка (с действительными координатами) является решением ${ displaystyle S}$ тогда и только тогда, когда это решение одной из систем ${ Displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {e}}$ .^[1]

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle T}$ быть регулярная цепочка из ${ Displaystyle mathbf {к} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ для некоторого упорядочивания переменных ${ Displaystyle mathbf {x} = x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ и настоящее закрытое поле ${ displaystyle mathbf {k}}$ . Позволять ${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1}, ldots, u_ {d}}$ и ${ displaystyle mathbf {y} = y_ {1}, ldots, y_ {n-d}}$ обозначить соответственно переменные ${ displaystyle mathbf {x}}$ которые свободны и алгебраичны относительно ${ displaystyle T}$ . Позволять ${ Displaystyle P подмножество mathbf {k} [ mathbf {x}]}$ быть конечным таким, что каждый многочлен из ${ displaystyle P}$ регулярна относительно насыщенного идеала ${ displaystyle T}$ . Определять ${ displaystyle P _ {>}: = {p> 0 mid p in P }}$ . Позволять ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ быть бескванторной формулой ${ Displaystyle mathbf {к} [ mathbf {x}]}$ включая только переменные ${ displaystyle mathbf {u}}$ . Мы говорим что ${ Displaystyle R: = [{ mathcal {Q}}, T, P _ {>}]}$ это регулярная полуалгебраическая система если выполнены следующие три условия.

${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ определяет непустое открытое полуалгебраическое множество ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle mathbf {k} ^ {d}}$ ,
обычная система ${ displaystyle [T, P]}$ хорошо специализируется в каждой точке ${ displaystyle u}$ из ${ displaystyle S}$ ,
в каждой точке ${ displaystyle u}$ из ${ displaystyle S}$ , специализированная система ${ Displaystyle [Т (и), Р (и) _ {>}]}$ имеет хотя бы один действительный ноль.

Нулевой набор ${ displaystyle R}$ , обозначаемый ${ Displaystyle Z _ { mathbf {k}} (R)}$ , определяется как множество точек ${ displaystyle (u, y) in mathbf {k} ^ {d} times mathbf {k} ^ {n-d}}$ такой, что ${ Displaystyle { mathcal {Q}} (и)}$ правда и ${ Displaystyle т (и, у) = 0, п (и, у)> 0}$ , для всех ${ displaystyle t in T}$ и все ${ displaystyle p in P}$ . Заметьте, что ${ Displaystyle Z _ { mathbf {k}} (R)}$ имеет размер ${ displaystyle d}$ в аффинном пространстве ${ Displaystyle mathbf {к} ^ {п}}$ .