Площадь отношений - Relationship square

В статистике квадрат отношений графическое представление для использования в факторном анализе таблицы отдельные лица Икс переменные. Это представление завершает классические представления, предоставляемые Анализ главных компонентов (PCA) или анализ множественной корреспонденции (MCA), а именно индивидов, количественных переменных (круг корреляции) и категорий качественных переменных (в центре тяжести индивидов, которые ими обладают). Это особенно важно в факторный анализ смешанных данных (FAMD) и в многофакторном анализе (MFA).

Значение квадрат отношений в кадре MCA

Первый интерес квадрата отношений заключается в представлении самих переменных, а не их категорий, что тем более ценно, что существует множество переменных. Для этого рассчитаем для каждой качественной переменной ${ displaystyle j}$ и каждый фактор ${ displaystyle F_ {s}}$ ( ${ displaystyle F_ {s}}$ , классифицировать ${ displaystyle s}$ фактор, - вектор координат особей по оси ранга ${ displaystyle s}$ ; в СПС, ${ displaystyle F_ {s}}$ называется главный компонент ранга ${ displaystyle s}$ ), квадрат коэффициент корреляции между ${ displaystyle F_ {s}}$ и переменная ${ displaystyle j}$ , обычно обозначается: ${ displaystyle eta ^ {2} (j, F_ {s})}$
Таким образом, с каждой факторной плоскостью мы можем связать представление самих качественных переменных, координаты которых находятся между 0 и 1, переменные появляются в квадрате, имеющем в качестве вершин точки (0,0), (0,1), (1 , 0) и (1,1).

Пример в MCA

Шесть человек ( ${ displaystyle i_ {1}, ldots, i_ {6})}$ описываются тремя переменными ${ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ имеющих соответственно 3, 2 и 3 категории. Пример: физическое лицо ${ displaystyle i_ {1}}$ обладает категорией ${ displaystyle a}$ из ${ displaystyle q_ {1}}$ , ${ displaystyle d}$ из ${ displaystyle q_ {2}}$ и ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle q_ {3}}$ .

Таблица 1. Набор минутных данных для MCA.
	${ displaystyle q_ {1}}$	${ displaystyle q_ {2}}$	${ displaystyle q_ {3}}$
${ displaystyle i_ {1}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -а	${ displaystyle q_ {2}}$ -d	${ displaystyle q_ {3}}$ -f
${ displaystyle i_ {2}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -b	${ displaystyle q_ {2}}$ -d	${ displaystyle q_ {3}}$ -f
${ displaystyle i_ {3}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -c	${ displaystyle q_ {2}}$ -d	${ displaystyle q_ {3}}$ -грамм
${ displaystyle i_ {4}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -а	${ displaystyle q_ {2}}$ -e	${ displaystyle q_ {3}}$ -грамм
${ displaystyle i_ {5}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -b	${ displaystyle q_ {2}}$ -e	${ displaystyle q_ {3}}$ -час
${ displaystyle i_ {6}}$	${ displaystyle q_ {1}}$ -c	${ displaystyle q_ {2}}$ -e	${ displaystyle q_ {3}}$ -час

Применительно к этим данным функция MCA, включенная в пакет R FactoMineR, предоставляет классический график на рисунке 1.

Рисунок 1. MCA таблицы 1 через FactoMineR. Представление лиц (синий) и категорий (цвет в зависимости от переменной).

Рисунок 2. MCA таблицы 1 через FactoMineR. Квадрат отношений.

Квадрат отношений (рис. 2) упрощает чтение классической факторной плоскости. Это означает, что:

Первый фактор связан с тремя переменными, но особенно с ${ displaystyle q_ {3}}$ (которые имеют очень высокую координату по первой оси), а затем ${ displaystyle q_ {2}}$ .
Второй фактор связан только с ${ displaystyle q_ {1}}$ и ${ displaystyle q_ {3}}$ (а не ${ displaystyle q_ {2}}$ который имеет координату по оси 2, равную 0), и это строго и одинаково.

Все это видно на классическом графике, но не так четко. Роль квадрата отношений в первую очередь состоит в том, чтобы помочь при чтении обычного графика. Это очень ценно, когда переменных много и есть множество координат.

Расширения

Это представление может быть дополнено представлениями количественных переменных, координаты которых представляют собой квадрат коэффициентов корреляции (а не отношений корреляции). Таким образом, второе преимущество квадрата отношений заключается в способности представлять одновременно количественные и качественные переменные.^[1]

Квадрат отношения может быть построен на основе любого факторного анализа таблицы. отдельные лица Икс переменные. В частности, он (или должен) использоваться систематически:

в анализе множественных соответствий (MCA);^[2]
в анализе главных компонентов (PCA), когда есть много дополнительных переменных;
в факторный анализ смешанных данных (FAMD).

Расширение этого рисунка на группы переменных (как представить группу переменных одной точкой?) Используется в многофакторном анализе (MFA).

История

Идея представления самих качественных переменных точкой (а не категорий) принадлежит Бриджит Эскофье.^[3] Графика в том виде, в котором она используется сейчас, была представлена Бриджит Эскофье и Жеромом Пажесом в рамках многофакторного анализа.^[4]

Вывод

В MCA квадрат отношения дает синтетическое представление о связях между смешанными переменными, что тем более ценно, что существует множество переменных, имеющих множество категорий. Это представление может быть полезно в любом факторном анализе, когда имеется множество смешанных переменных, активных и / или дополнительных.

внешняя ссылка

FactoMineR Программное обеспечение R, предназначенное для исследовательского анализа данных.

[1] Несколько примеров с двумя типами переменных можно найти в Pagès Jérôme (2014). Многофакторный анализ на примере с использованием R. Chapman & Hall / CRC The R Series London 272 p.

[2] Хассон Ф., Ле С. и Паж Дж. (2009). Исследовательский многомерный анализ на примере с использованием R. Chapman & Hall / CRC The R Series, Лондон. ISBN 978-2-7535-0938-2

[3] Эскофье Бриджит (1979). Представление переменных в анализе соответствия кратным. Revue de statistique appliquée. т. XXVII, № 4, стр. 37–47. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1979__27_4/RSA_1979__27_4_37_0/RSA_1979__27_4_37_0.pdf

[4] Escofier B. & Pagès J. (1988 1-е изд. 2008 4-е изд.) Анализирует простые и кратные факторы; Объективы, методы и интерпретация. Данод, Париж, 318 стр. ISBN 978-2-10-051932-3

[1]

[2]

[3]

[4]