Относительный скаляр - Relative scalar
В математике относительный скаляр (весаш) - скалярная функция, преобразование которой при координатном преобразовании
на п-мерное многообразие подчиняется следующему уравнению
куда
то есть определитель Якобиан трансформации.[1] А скалярная плотность относится к дело.
Относительные скаляры - важный частный случай более общей концепции относительный тензор.
Обычный скаляр
An обычный скаляр или же абсолютный скаляр[2] относится к дело.
Если и относятся к той же точке на коллекторе, тогда мы желаем . Это уравнение можно интерпретировать двояко, когда рассматриваются как «новые координаты» и рассматриваются как «исходные координаты». Первый как , который «преобразует функцию в новые координаты». Второй - как , который "преобразует обратно в исходные координаты. Конечно," новый "или" оригинальный "- понятие относительное.
Есть много физических величин, которые представлены обычными скалярами, например температура и давление.
Пример веса 0
Предположим, что температура в комнате задается функцией в декартовых координатах а функция в цилиндрических координатах желательно. Две системы координат связаны следующими наборами уравнений:
и
С помощью позволяет получить как преобразованная функция.
Обдумайте суть чьи декартовы координаты и соответствующее значение которой в цилиндрической системе равно . Быстрый расчет показывает, что и также. Это равенство справедливо для любой выбранной точки. . Таким образом, - "температурная функция в декартовой системе координат" и - «функция температуры в цилиндрической системе координат».
Один из способов рассматривать эти функции как представление «родительской» функции, которая принимает точку многообразия в качестве аргумента и выдает температуру.
Проблема могла быть обращена вспять. Можно было дать и хотел получить декартову температурную функцию . Это просто меняет представление о «новой» системе координат от «исходной».
Предположим, что кто-то хочет интегрировать эти функции над «комнатой», которая будет обозначаться . (Да, интегрировать температуру странно, но это частично то, что нужно показать.) Предположим, что область задается в цилиндрических координатах как из , из и из (то есть «комната» представляет собой четверть цилиндра с радиусом и высотой 2). Интеграл от по региону является
- .[3]
Значение интеграла от в том же регионе
- .[4]
Они не равны. Интеграл температуры не зависит от используемой системы координат. В этом смысле он нефизический, следовательно, «странный». Обратите внимание, что если интеграл от включен фактор якобиана (который просто ),мы получили
- ,[5]
который является равен исходному интегралу, но, тем не менее, не является интегралом от температура потому что температура - это относительный скаляр веса 0, а не относительный скаляр веса 1.
Вес 1 пример
Если бы мы сказали представлял массовую плотность, однако его преобразованные значения должны включать фактор Якоби, который учитывает геометрическое искажение системы координат. Преобразованная функция теперь . В это время но . По-прежнему интеграл (полная масса) в декартовых координатах равен
- .
Значение интеграла от в том же регионе
- .
Они равны. Интеграл массы плотность дает полную массу, которая не зависит от координат. Обратите внимание, что если интеграл от также включил фактор якобиана, как и раньше, мы получаем
- ,[6]
что не равно предыдущему случаю.
Другие случаи
Веса, отличные от 0 и 1, возникают не так часто. Можно показать, что определитель тензора типа (0,2) является относительным скаляром веса 2.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1 апреля 1989 г.). «4». Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы (Мягкая обложка). Дувр. п. 103. ISBN 0-486-65840-6. Получено 19 апреля 2011.
- ^ Веблен, Освальд (2004). Инварианты квадратичных дифференциальных форм.. Издательство Кембриджского университета. п. 21. ISBN 0-521-60484-2. Получено 3 октября 2012.
- ^ [1]
- ^ [2]
- ^ [3]
- ^ [4]