Остаточный (численный анализ) - Residual (numerical analysis)

Грубо говоря, остаточный это ошибка в результате.^[1] Чтобы быть точным, предположим, что мы хотим найти Икс такой, что

${displaystyle f (x) = b.,}$

Учитывая приближение Икс₀ из Икс, остаток равен

${displaystyle b-f (x_ {0}),}$

тогда как ошибка

${displaystyle x-x_ {0},}$

Если точное значение Икс неизвестно, остаток можно вычислить, а ошибку нельзя.

Остаток приближения функции

Аналогичная терминология используется в отношении дифференциал, интеграл и функциональные уравнения. Для приближения ${displaystyle ~ f_ {m {a}} ~}$ решения ${displaystyle ~ f ~}$ уравнения

${displaystyle T (f) (x) = g (x)}$ ,

остаток может быть функцией

${displaystyle ~ g (x) ~ - ~ T (f_ {m {a}}) (x)}$

или можно сказать, что это максимум нормы этой разницы

${displaystyle max _ {xin {mathcal {X}}} | g (x) -T (f_ {m {a}}) (x) |}$

по домену ${displaystyle {mathcal {X}}}$, где функция ${displaystyle ~ f_ {m {a}} ~}$ ожидается, чтобы аппроксимировать решение ${displaystyle ~ f ~}$, или некоторый интеграл функции разности, например:

${displaystyle ~ int _ {mathcal {X}} | g (x) -T (f_ {m {a}}) (x) | ^ {2} ~ {m {d}} x.}$

Во многих случаях малость невязки означает, что приближение близко к решению, т. Е.

${displaystyle ~ left | {frac {f_ {m {a}} (x) -f (x)} {f (x)}} ight | ll 1. ~}$

В этих случаях исходное уравнение рассматривается как хорошо поставленный; а невязку можно рассматривать как меру отклонения приближения от точного решения.

Использование остатков

Когда точное решение неизвестно, можно искать приближение с малой невязкой.

Невязки появляются во многих областях математики, в том числе итерационные решатели такой как обобщенный метод минимальной невязки, который ищет решения уравнений, систематически минимизируя невязку.

Рекомендации