Функция Рисса - Riesz function

Рис (x) для x от 0 до 50

В математика, то Функция Рисса является вся функция определяется Марсель Рис в связи с Гипотеза Римана, посредством степенного ряда

${ Displaystyle { rm {Riesz}} (х) = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-x) ^ {k}} {(k-1)! zeta (2k)}} = x sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2}}} exp left ({ frac {-x} {n ^ {2}}} right).}$

Если мы установим ${ displaystyle F (x) = { frac {1} {2}} { rm {Riesz}} (4 pi ^ {2} x)}$ мы можем определить его в терминах коэффициентов разложения ряда Лорана гиперболического (или, что эквивалентно, обычного) котангенса вокруг нуля. Если

${ displaystyle { frac {x} {2}} coth { frac {x} {2}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n} = 1 + { frac {1} {12}} x ^ {2} - { frac {1} {720}} x ^ {4} + cdots}$

тогда F можно определить как

${ Displaystyle F (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {c_ {2k} (k-1)!}} = 12x-720x ^ { 2} + 15120x ^ {3} - cdots}$

Значения ζ (2k) приближаются к единице для увеличения k и сравнения ряда для функции Рисса с рядом для ${ Displaystyle х ехр (-x)}$ показывает, что он определяет целую функцию. В качестве альтернативы, F можно определить как

${ Displaystyle F (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {k ^ { overline {k + 1}} x ^ {k}} {B_ {2k}}}. }$

${ displaystyle n ^ { overline {k}}}$ обозначает возрастающая факторная мощность в обозначении Д. Э. Кнут и число B_п являются Число Бернулли. Ряд является одним из чередующихся членов, и функция быстро стремится к минус бесконечности для все более отрицательных значений Икс. Положительные значения Икс более интересные и нежные.

Критерий Рисса

Можно показать, что

${ displaystyle operatorname {Riesz} (x) = O (x ^ {e}) qquad ({ text {as}} x to infty)}$

для любого показателя е больше 1/2, где это нотация большой O; принимая значения как положительные, так и отрицательные. Рис показал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что сказанное выше верно для любого е больше 1/4.^[1] В той же газете он добавил и слегка пессимистическую заметку: «Je ne sais pas encore decider si cette condition Facilitera la vérification de l'hypothèse»(« Не знаю, как решить, облегчит ли это условие проверку гипотезы »).

Преобразование Меллина функции Рисса

Функция Рисса связана с Дзета-функция Римана через его Преобразование Меллина. Если мы возьмем

${ displaystyle { mathbf {M}} ({ rm {Riesz}} (z)) = int _ {0} ^ { infty} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

мы видим, что если ${ Displaystyle Re (s)> - 1}$ тогда

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

сходится, тогда как из условия роста имеем, что если${ Displaystyle Re (s) <- { frac {1} {2}}}$ тогда

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

сходится. Собирая все вместе, мы видим, что преобразование Меллина функции Рисса определено на полосе ${ Displaystyle -1 < Re (s) <- { frac {1} {2}}}$На этой полосе мы имеем (ср. Основная теорема Рамануджана )${ displaystyle { frac { Gamma (s + 1)} { zeta (-2s)}} = { mathbf {M}} ({ rm {Riesz}} (z))}$

Из обратного преобразования Меллина мы теперь получаем выражение для функции Рисса:

${ displaystyle { rm {Riesz}} (z) = int _ {ci infty} ^ {c + i infty} { frac { Gamma (s + 1)} { zeta (-2s)} } z ^ {- s} ds}$

где c находится между минус один и минус половина. Если гипотеза Римана верна, мы можем переместить линию интегрирования на любое значение, меньшее минус одной четвертой, и, следовательно, мы получаем эквивалентность между скоростью роста четвертого корня для функции Рисса и гипотезой Римана.

Дж. Гарсия (см. Ссылки) дал интегральное представление ${ displaystyle f (x)}$ с помощью Борелевское пересуммирование в качестве

${ displaystyle exp (-x) -1 = int _ {0} ^ { infty} { frac {f (t)} {t}} rho ({ sqrt {x / t}}) dt }$ и ${ Displaystyle rho (х) = х- lfloor x rfloor}$ это дробная часть 'x'

Расчет функции Рисса

В Серия Маклорена коэффициенты F увеличиваются по абсолютной величине, пока не достигнут максимума в 40-м члене -1,753×10¹⁷. К 109-му члену они опустились ниже единицы по абсолютной величине. Достаточно взять первые 1000 членов, чтобы получить очень точное значение для${ Displaystyle F (z)}$ за ${ Displaystyle | г | <9}$. Однако для этого потребуется вычислить многочлен степени 1000 либо с использованием рациональной арифметики с коэффициентами большого числителя или знаменателя, либо с использованием вычислений с плавающей запятой более 100 цифр. Альтернативой является использование обратного преобразования Меллина, определенного выше, и численное интегрирование. Ни один из подходов не является простым в вычислительном отношении.

Другой подход - использовать ускорение сходимости. У нас есть

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k -1)! Zeta (2k)}}.}$

Поскольку ζ (2k) приближается к единице при увеличении k, члены этого ряда приближаются к

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k-1)!}} = x exp ( -Икс)}$. Действительно, Рис отметил, что: ${ displaystyle { sum _ {n = 1} ^ { infty} { rm {Riesz}} (x / n ^ {2}) = x exp (-x)}.}$

Использование метода Куммера для ускорения сходимости дает

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = x exp (-x) - sum _ {k = 1} ^ { infty} left ( zeta (2k) -1 right) left ({ frac {(-1) ^ {k + 1}} {(k-1)! zeta (2k)}} right) x ^ {k}}$

с улучшенной скоростью сходимости.

Продолжение этого процесса приводит к новому ряду для функции Рисса с гораздо лучшими свойствами сходимости:

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k -1)! Zeta (2k)}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k-1 )!}} left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (n) n ^ {- 2k} right)}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} left (x / n ^ {2} right) ^ {k}} {(k-1)!}} = X sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2 }}} exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right).}$

Здесь μ - Мю-функция Мёбиуса, а перестановка членов оправдана абсолютной сходимостью. Теперь мы можем снова применить метод Куммера и написать

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = x left ({ frac {6} { pi ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2}}} left ( exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right) -1 right) right)}$

члены которого в конечном итоге убывают как обратная четвертая степень п.

Вышеупомянутые ряды абсолютно сходятся везде и, следовательно, могут быть дифференцированы по членам, что приводит к следующему выражению для производной функции Рисса:

${ displaystyle { rm {Riesz}} '(x) = { frac { rm {Riesz (x)}} {x}} - x left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {4}}} exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right) right)}$

который можно переформатировать как

${ displaystyle { rm {Riesz}} '(x) = { frac { rm {Riesz (x)}} {x}} + x left (- { frac {90} { pi ^ {4 }}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {4}}} left (1- exp left (- { frac { x} {n ^ {2}}} right) right) right).}$

Марек Вольф в^[2]в предположении, что гипотеза Римана показала, что для больших x:

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = mathrm {const} times x ^ {1/4} sin left ( phi - { frac {1} {2}} gamma _ { 1} log (x) right)}$

куда ${ displaystyle gamma _ {1} = 14.13472514 ...}$ - мнимая часть первого нетривиального нуля дзета-функции, ${ displaystyle mathrm {const} = 7.7750627 ... times 10 ^ {- 5}}$ и ${ displaystyle phi = -0,54916 ... = (- 31,46447 ^ { circ})}$. Это согласуется с общими теоремами о нулях функции Рисса, доказанными в 1964 году Гербертом Вильфом.^[3]

Внешний вид функции Рисса

График для диапазона от 0 до 50 приведен выше. На самом деле это не указывает на очень быстрый рост и, возможно, предвещает хорошее утверждение гипотезы Римана.

Примечания

Рекомендации

• Титчмарш, Э., Теория дзета-функции Римана, второе пересмотренное (Heath-Brown) издание, Oxford University Press, 1986, [Раздел 14.32]