Формула Родригеса - Википедия - Rodrigues formula

В математике Формула Родригеса (ранее назывался Формула Айвори – Якоби) является формулой для Полиномы Лежандра независимо представленный Олинде Родригес  (1816 ), Сэр Джеймс Айвори  (1824 ) и Карл Густав Якоби  (1827 ). Название «формула Родригеса» было введено Гейне в 1878 году после того, как Эрмит указал в 1865 году, что Родригес был первым, кто его открыл. Этот термин также используется для описания подобных формул для других ортогональные многочлены. Аски (2005) подробно описывает историю формулы Родригеса.

Заявление

Позволять ${ Displaystyle {P_ {п} (х) } _ {п = 0} ^ { infty}}$ - последовательность ортогональных многочленов, удовлетворяющая условию ортогональности

${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} P_ {m} (x) P_ {n} (x) w (x) dx = K_ {m, n} delta _ {m, n},}$

куда, ${ Displaystyle ш (х)}$ - подходящая весовая функция, ${ displaystyle K_ {m, n}}$ константы и ${ displaystyle delta _ {m, n}}$ - дельта Кронекера. Если весовая функция ${ Displaystyle ш (х)}$ удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (называемому дифференциальным уравнением Пирсона),

${ displaystyle { frac {w '(x)} {w (x)}} = { frac {A (x)} {B (x)}},}$

куда ${ Displaystyle А (х)}$ является многочленом степени не выше 1 и ${ Displaystyle В (х)}$ - многочлен степени не выше 2 и, кроме того, пределы

${ displaystyle lim _ {x rightarrow a} w (x) B (x) = 0, qquad lim _ {x rightarrow b} w (x) B (x) = 0,}$

тогда можно показать, что ${ Displaystyle P_ {п} (х)}$ удовлетворяет рекуррентному соотношению вида

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {c_ {n}} {w (x)}} { frac { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} x ^ { n}}} left [B (x) ^ {n} w (x) right],}$

для некоторых констант ${ displaystyle c_ {n}}$. Это отношение называется Формула типа Родригеса, или просто Формула Родригеса.^[1]

Наиболее известные применения формул типа Родрига - это формулы для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита:

Родригес изложил свою формулу Полиномы Лежандра ${ displaystyle P_ {n}}$:

${ displaystyle P_ {n} (x) = {1 over 2 ^ {n} n!} {d ^ {n} over dx ^ {n}} left [(x ^ {2} -1) ^ {n} right].}$

Полиномы Лагерра обычно обозначаются L₀, L₁, ..., а формулу Родригеса можно записать как

${ displaystyle L_ {n} (x) = { frac {e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left (e ^ { -x} x ^ {n} right) = { frac {1} {n!}} left ({ frac {d} {dx}} - 1 right) ^ {n} x ^ {n} ,}$

Формула Родригеса для Многочлен Эрмита можно записать как

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = left (2x - { frac {d} {dx}} right) ^ {n} cdot 1}$.

Подобные формулы верны для многих других последовательностей ортогональных функций, возникающих из Уравнения Штурма-Лиувилля, и они также называются формулой Родригеса (или формулой типа Родригеса) для этого случая, особенно когда результирующая последовательность является полиномиальной.

Рекомендации

• Аски, Ричард (2005), «Документ 1839 года о перестановках: его связь с формулой Родригеса и дальнейшее развитие», в Altmann, Simón L .; Ортис, Эдуардо Л. (ред.), Математика и социальные утопии во Франции: Олинда Родригес и его времена, История математики, 28, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 105–118, ISBN  978-0-8218-3860-0
• Айвори, Джеймс (1824 г.), «О фигуре, необходимой для поддержания равновесия однородной жидкой массы, которая вращается вокруг оси», Философские труды Лондонского королевского общества, Королевское общество, 114: 85–150, Дои:10.1098 / рстл.1824.0008, JSTOR  107707
• Якоби, К. Дж. Дж. (1827 г.), "Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 - 2xz + z²)^1/2 entstehen. ", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 2: 223–226, Дои:10.1515 / crll.1827.2.223, ISSN  0075-4102, S2CID  120291793
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Олинде Родригес", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Родригес, Олинде (1816), "De l'attraction des sphéroïdes", Переписка в Политехнической школе Империале, (Диссертация на факультет естественных наук Парижского университета), 3 (3): 361–385