Теорема Романовых - Википедия - Romanovs theorem

В математике, в частности аддитивная теория чисел, Теорема Романова математическая теорема, доказанная Николаем Павловичем Романовым. В нем говорится, что при фиксированной базе б, набор чисел, которые являются суммой простого и положительной целой степени б имеет положительный нижняя асимптотическая плотность.

Заявление

Первоначально Романов заявил, что он доказал утверждения: «In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als ax Zahlen, welche als Summe von einer Primzahl und einer k-ten Potenz einer ganzen Zahl darstellbar sind, wo a eine gewisse positive, nur von k abhängige Konstante bedeutet "и" In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als bx Zahlen, weiche als Summe von einer Primzahl und einer Potenz von a darstellbar sind. Hier ist a eine gegebene ganze Zahl und eine Positive von a abhängt ".^[1] Эти утверждения переводятся как "В каждом интервале ${ Displaystyle (0, х)}$ есть более чем ${ displaystyle alpha x}$ числа, которые можно представить как сумму простого числа и k-я степень целого числа, где ${ displaystyle alpha}$ определенная положительная константа, которая зависит только от k"и" В каждом интервале ${ Displaystyle (0, х)}$ есть более чем ${ displaystyle beta x}$ числа, которые могут быть представлены как сумма простого числа и степени а. Здесь а заданное целое число и ${ displaystyle beta}$ положительная константа, которая зависит только от а"соответственно. Второе утверждение общепринято как теорема Романова, например, в книге Натансона.^[2]

Именно пусть ${ displaystyle d (x) = { frac { left vert {n leq x: n = p + 2 ^ {k}, p { textrm {prime,}} k in mathbb { N} } right vert} {x}}}$ и разреши ${ displaystyle { underline {d}} = liminf _ {x to infty} d (x)}$, ${ displaystyle { overline {d}} = limsup _ {x to infty} d (x)}$. Тогда теорема Романова утверждает, что ${ displaystyle { underline {d}}> 0}$.^[3]

История

Альфонс де Полиньяк писал в 1849 году, что каждое нечетное число больше 3 может быть записано как сумма нечетного простого числа и степени двойки (вскоре он заметил контрпример, а именно 959.)^[4] Это соответствует случаю ${ displaystyle a = 2}$ в исходном заявлении. Контрпример 959 г. также упоминался в Эйлер письмо к Кристиан Гольдбах,^[5] но они работали в противоположном направлении, пытаясь найти нечетные числа, которые нельзя выразить в форме.

В 1934 году Романов доказал теорему. Положительная постоянная ${ displaystyle beta}$ упомянутый в деле ${ displaystyle a = 2}$ позже был известен как Постоянная Романова.^[6] Различные оценки константы, а также ${ displaystyle { overline {d}}}$, было изготовлено. История таких доработок приведена ниже.^[3] В частности, поскольку ${ displaystyle { overline {d}}}$ показано, что оно меньше 0,5, это означает, что нечетные числа, которые не могут быть выражены таким образом, имеют положительную нижнюю асимптотическую плотность.

Доработки ${ displaystyle { overline {d}}}$ и ${ displaystyle { underline {d}}}$

Год	Нижняя граница ${ displaystyle { underline {d}}}$	Верхняя граница ${ displaystyle { overline {d}}}$	Прувер	Примечания
1950		${ displaystyle 0,5–5,06 times 10 ^ {- 80}}$[а]	Пол Эрдёш	;[7] Первое доказательство бесконечного множества нечетных чисел, не имеющих вида ${ displaystyle 2 ^ {k} + p}$ через явная арифметическая прогрессия
2004	0.0868		Чен, Сюнь	[8]
2006	0.0933	0.49094093[b]	Хабсигер, Роблот	;[9] Учитывает только нечетные числа; неточно, см. примечание
2006	0.093626		Пинц	;[6] изначально оказался 0,9367, но была обнаружена ошибка, и ее исправление даст 0,093626
2010	0.0936275		Хабсигер, Сивак-Фишлер	[10]
2018	0.107648		Эльсхольц, Шлаге-Пухта

Обобщения

Аналогичные результаты теоремы Романова доказаны в числовые поля Ригелем в 1961 году.^[11] В 2015 году теорема была также доказана для многочленов от конечных полей.^[12] Также в 2015 году арифметическая прогрессия Гауссовские целые числа которые нельзя выразить как сумму гауссовского простого числа и степени 1 + я дано.^[13]

Рекомендации