Поле разрыва - Rupture field

В абстрактная алгебра, а поле разрыва из многочлен ${displaystyle P (X)}$ над данным поле ${displaystyle K}$ такой, что ${displaystyle P (X) in K [X]}$ это расширение поля из ${displaystyle K}$ созданный корень ${displaystyle a}$ из ${displaystyle P (X)}$.^[1]

Например, если ${displaystyle K = mathbb {Q}}$ и ${displaystyle P (X) = X ^ {3} -2}$ тогда ${displaystyle mathbb {Q} [{sqrt [{3}] {2}}]}$ это поле разрыва для ${displaystyle P (X)}$.

Понятие интересно в основном, если ${displaystyle P (X)}$ является несводимый над ${displaystyle K}$. В этом случае все поля разрыва ${displaystyle P (X)}$ над ${displaystyle K}$ изоморфны неканонически ${displaystyle K_ {P} = K [X] / (P (X))}$: если ${displaystyle L = K [a]}$ куда ${displaystyle a}$ это корень ${displaystyle P (X)}$, то гомоморфизм колец ${displaystyle f}$ определяется ${displaystyle f (k) = k}$ для всех ${displaystyle kin K}$ и ${displaystyle f (Xmod P) = a}$ является изоморфизм. Кроме того, в этом случае степень расширения равна степени ${displaystyle P}$.

Поле разрыва многочлен не обязательно содержит все корни этого многочлен: в приведенном выше примере поле ${displaystyle mathbb {Q} [{sqrt [{3}] {2}}]}$ не содержит двух других (сложных) корней ${displaystyle P (X)}$ (а именно ${displaystyle omega {sqrt [{3}] {2}}}$ и ${displaystyle omega ^ {2} {sqrt [{3}] {2}}}$ куда ${displaystyle omega}$ примитивный корень третьей степени из единицы). Для поля, содержащего все корни многочлен см. поле расщепления.

Примеры

Поле разрыва ${displaystyle X ^ {2} +1}$ над ${displaystyle mathbb {R}}$ является ${displaystyle mathbb {C}}$. Это также поле расщепления.

Поле разрыва ${displaystyle X ^ {2} +1}$ над ${displaystyle mathbb {F} _ {3}}$ является ${displaystyle mathbb {F} _ {9}}$ поскольку нет элемента ${displaystyle mathbb {F} _ {3}}$ с квадратом, равным ${displaystyle -1}$ (и все квадратичные расширения из ${displaystyle mathbb {F} _ {3}}$ изоморфны ${displaystyle mathbb {F} _ {9}}$).

Смотрите также

• Поле разделения

Рекомендации