S2P (сложность) - S2P (complexity)

В теория сложности вычислений, S^п
₂ это класс сложности, промежуточное звено между первым и вторым уровнями полиномиальная иерархия. Язык $L$ в ${ displaystyle { mathsf {S}} _ {2} ^ {P}}$ если существует предикат полиномиального времени п такой, что

Если ${ displaystyle x in L}$ , то существует у такой, что для всех z, ${ Displaystyle P (х, y, z) = 1}$ ,
Если ${ Displaystyle х notin L}$ , то существует z такой, что для всех у, ${ Displaystyle P (х, y, z) = 0}$ ,

где размер у и z должен быть полиномом от Икс.

Отношение к другим классам сложности

Непосредственно из определения S^п
₂ закрыто относительно объединений, пересечений и дополнений. Сравнивая определение с определением ${ displaystyle Sigma _ {2} ^ {P}}$ и ${ displaystyle Pi _ {2} ^ {P}}$ , также сразу следует, что S^п
₂ содержится в ${ Displaystyle Sigma _ {2} ^ {P} cap Pi _ {2} ^ {P}}$ . Фактически, это включение можно усилить до ЗПП^НП.^[1]

Каждый язык в НП также принадлежит S^п
₂. По определению, язык L находится в NP, если и только если существует верификатор с полиномиальным временем V(Икс,у), такое, что для каждого Икс в L Существует у для которого V ответы верны, и такие, что для каждого Икс не в L, V всегда отвечает ложно. Но такой верификатор легко превратить в S^п
₂ предикат п(Икс,у,z) для того же языка, который игнорирует z а в остальном ведет себя так же, как V. К тому же со-НП принадлежит S^п
₂. Эти простые включения можно усилить, чтобы показать, что класс S^п
₂ содержит MA (путем обобщения Теорема Сипсера – Лаутеманна. ) и ${ displaystyle Delta _ {2} ^ {P}}$ (в более общем смысле, ${ Displaystyle P ^ {{ mathsf {S}} _ {2} ^ {P}} = { mathsf {S}} _ {2} ^ {P}}$ ).

Теорема Карпа – Липтона

Версия Теорема Карпа – Липтона заявляет, что если каждый язык в НП имеет схемы полиномиального размера затем полиномиальная временная иерархия сворачивается на S^п
₂. Этот результат дает усиление Каннан Теорема: известно, что S^п
₂ не содержится в РАЗМЕР(п^k) для любых фиксированныхk.

Симметричная иерархия

В качестве расширения можно определить ${ displaystyle { mathsf {S}} _ {2}}$ как оператор классов сложности; тогда ${ Displaystyle { mathsf {S}} _ {2} P = { mathsf {S}} _ {2} ^ {P}}$ . Итерация ${ displaystyle S_ {2}}$ оператор дает «симметричную иерархию»; объединение произведенных таким образом классов равно Полиномиальная иерархия.