Решение скалярного поля - Scalar field solution

В общая теория относительности, а решение скалярного поля является точное решение из Уравнение поля Эйнштейна в котором гравитационное поле полностью обусловлено энергией поля и импульсом скалярное поле. Такое поле может быть или не быть безмассовый, и можно считать, что соединение с минимальной кривизнойили другой вариант, например конформная связь.

Математическое определение

В общей теории относительности геометрическая установка физических явлений Лоренцево многообразие, который физически интерпретируется как искривленное пространство-время, и который математически задается путем определения метрический тензор ${ displaystyle g_ {ab}}$ (или путем определения поле кадра ). В тензор кривизны ${ displaystyle R_ {bcd} ^ {a}}$этого многообразия и связанных с ним величин, таких как Тензор Эйнштейна ${ displaystyle G_ {ab}}$, хорошо определены даже в отсутствие какой-либо физической теории, но в общей теории относительности они получают физическую интерпретацию как геометрические проявления гравитационное поле.

Кроме того, мы должны указать скалярное поле, задав функцию ${ displaystyle psi}$. Эта функция требуется для выполнения двух следующих условий:

1. Функция должна удовлетворять (искривленное пространство-время) без источника волновое уравнение ${ displaystyle g ^ {ab} psi _ {; ab} = 0}$,
2. Тензор Эйнштейна должен соответствовать тензор энергии-импульса для скалярного поля, которое в простейшем случае a минимально связанное безмассовое скалярное поле, можно написать

${ displaystyle G_ {ab} = 8 pi left ( psi _ {; a} psi _ {; b} - { frac {1} {2}} psi _ {; m} psi ^ { ; m} g_ {ab} right)}$.

Оба условия следуют из изменения Плотность лагранжиана для скалярного поля, которое в случае минимально связанного безмассового скалярного поля равно

${ Displaystyle L = -g ^ {mn} , psi _ {; m} , psi _ {; n}}$

Здесь,

${ displaystyle { frac { delta L} { delta psi}} = 0}$

дает волновое уравнение, а

${ displaystyle { frac { delta L} { delta g ^ {ab}}} = 0}$

дает уравнение Эйнштейна (в случае, когда энергия поля скалярного поля является единственным источником гравитационного поля).

Физическая интерпретация

Скалярные поля часто интерпретируются как классические приближения в смысле эффективная теория поля, в какое-то квантовое поле. В общей теории относительности умозрительная квинтэссенция поле может отображаться как скалярное поле. Например, поток нейтрального пионы в принципе можно моделировать как минимально связанное безмассовое скалярное поле.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поле кадра вместо координатного базиса часто называют физические компоненты, потому что это компоненты, которые в принципе могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае минимально связанное безмассовое скалярное поле, адаптированная рама

${ displaystyle { vec {e}} _ {0}, ; { vec {e}} _ {1}, ; { vec {e}} _ {2}, ; { vec {e }} _ {3}}$

(первый - это подобный времени единица измерения векторное поле, последние три космический единичные векторные поля) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

${ displaystyle G _ { hat {a}} { hat {b}}} = 8 pi sigma , left [{ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {матрица}} right]}$куда ${ displaystyle sigma}$ это плотность энергии скалярного поля.

Собственные значения

В характеристический многочлен тензора Эйнштейна в решении с минимально связанным безмассовым скалярным полем должно иметь вид

${ Displaystyle чи ( лямбда) = ( лямбда +8 пи сигма) ^ {3} , ( лямбда -8 пи сигма)}$

Другими словами, у нас есть простое собственное значение и тройное собственное значение, каждое из которых является отрицательным по отношению к другому. Умножить и использовать Основа Грёбнера методов, мы обнаруживаем, что следующие три инварианта должны одинаково обращаться в нуль:

${ displaystyle a_ {2} = 0, ; ; a_ {1} ^ {3} + 4a_ {3} = 0, ; ; a_ {1} ^ {4} + 16a_ {4} = 0}$

С помощью Личности Ньютона, мы можем переписать их в терминах следов сил. Мы находим, что

${ displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2}, ; t_ {3} = t_ {1} ^ {3} / 4, ; t_ {4} = t_ {1} ^ {4} / 4}$

Мы можем переписать это в терминах индексной гимнастики как явно инвариантный критерий:

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = - R}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = R ^ {2}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = R ^ {3} / 4}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = R ^ {4} / 4}$

Примеры

Известные индивидуальные решения скалярного поля включают

• в Решение скалярного поля Джениса – Ньюмана – Винкура, что является уникальным статический и сферически симметричный безмассовое решение с минимально связанным скалярным полем.

Смотрите также

• Точные решения в общей теории относительности
• Группа Лоренца

Рекомендации

• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. & Herlt, E. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7.
• Хокинг, С. В. и Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4. Видеть Раздел 3.3 для тензора энергии-импульса минимально связанного скалярного поля.